ทฤษฎีบทของเดอมัวร์กล่าวว่า การยกจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยขึ้นกำลัง n เพียงแค่คูณมุมของมันด้วย n ถ้าคุณเริ่มที่มุม θ แล้วทำการคูณนั้นซ้ำ n ครั้ง คุณจะไปจบที่มุม nθ นี่คือแก่นเรขาคณิตของเลขคณิตจำนวนเชิงซ้อน.
เริ่มจากมุม θ = 40° บนวงกลมหนึ่งหน่วย การยกกำลังสองจะเพิ่มมุมเป็นสองเท่าเป็น 80° (สีเขียว) การยกกำลังสามจะเพิ่มมุมเป็นสามเท่าเป็น 120° (สีแดง) จุดเพียงแค่หมุน ระยะจากจุดกำเนิดยังคงเท่ากับ 1
ทฤษฎีบทนี้ตามมาทันทีจากสูตรของออยเลอร์ e^(iθ) = cosθ + i sinθ เมื่อยกทั้งสองข้างขึ้นกำลัง n จะได้ (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ) เดอมัวร์ระบุผลของเขาไว้ตั้งแต่ปี 1707 ซึ่งเร็วกว่าเวลาที่ออยเลอร์ตีพิมพ์สูตรนี้ถึง 41 ปี ทำให้บทพิสูจน์ดูเหมือนเวทมนตร์มากกว่ากลไก.
รากที่ 6 ของเอกภาพก่อเป็นรูปหกเหลี่ยมด้านเท่าบนวงกลมหนึ่งหน่วย รากที่ n ของสมการ z^n = 1 จะก่อเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่าเสมอ โดยวางห่างเท่ากันที่มุม 2πk/n = τk/n
ทฤษฎีบทของเดอมัวร์เป็นเครื่องมือสำคัญในการคำนวณกำลังและรากของจำนวนเชิงซ้อน ในการหาอัตลักษณ์มุมหลายเท่า (เช่น cos 3θ = 4cos³θ - 3cosθ) และในการหารากที่ n ซึ่งวางห่างเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ มันเชื่อมพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อนเข้ากับเรขาคณิตของการหมุน.
เมื่อคุณคูณจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน มุม (argument) ของมันจะบวกกัน และขนาดของมันจะคูณกัน ถ้าทั้งสองจำนวนอยู่บนวงกลมหนึ่งหน่วย (ขนาดเท่ากับ 1) จะมีเพียงมุมที่เปลี่ยนไป การคูณซ้ำ n ครั้งจึงเท่ากับการบวกมุม n ครั้ง นั่นคือทฤษฎีบทของเดอมัวร์
ทฤษฎีบทของเดอมัวร์แสดงว่า cos(nθ) สามารถเขียนเป็นพหุนามของ cos(θ) ได้เสมอ พหุนามเหล่านี้คือพหุนามเชบีเชฟ T_n ซึ่งมีสมบัติว่า T_n(cos θ) = cos(nθ) ตัวอย่างเช่น cos(2θ) = 2cos²(θ) - 1 ดังนั้น T_2(x) = 2x² - 1 พวกมันปรากฏในวิธีเชิงตัวเลข การออกแบบตัวกรอง และทฤษฎีการประมาณค่า.