e คือจำนวนเพียงตัวเดียวที่ทำให้ฟังก์ชัน eˣ มีอนุพันธ์เท่ากับตัวมันเอง เริ่มต้นด้วยปริมาณใด ๆ แล้วปล่อยให้มันเติบโตอย่างต่อเนื่องที่อัตรา 100% ต่อปี หลังจากครบหนึ่งปีพอดี คุณจะมีจำนวนเท่ากับ e เท่าของที่เริ่มต้นไว้ ฐานอื่นไม่มีคุณสมบัติแบบอ้างอิงตัวเองนี้.
เมื่อ n โตขึ้น ลำดับนี้จะเข้าใกล้ e จากด้านล่าง และลู่เข้าไปหา 2.71828182845904…
ตารางแสดงว่า (1+1/n)^n ลู่เข้าไปหา e
| n | (1 + 1/n)ⁿ | ระยะห่างจาก e |
|---|---|---|
| 1 | 2.000000 | 0.71828 |
| 10 | 2.593742 | 0.12454 |
| 100 | 2.704814 | 0.01347 |
| 1 000 | 2.716924 | 0.00136 |
| 1 000 000 | 2.718281 | 0.0000014 |
| ∞ | 2.71828… | 0 |
คำอธิบายในแง่ดอกเบี้ยทบต้นคือ: ถ้าธนาคารให้ดอกเบี้ย 100% ต่อปี แต่ทบต้นปีละ n ครั้ง ยอดเงินของคุณจะเติบโตเป็น (1 + 1/n)ⁿ การทบต้นรายเดือนให้ค่า 2.613 การทบต้นทุกวินาทีให้ค่า 2.718 และการทบต้นอย่างต่อเนื่องให้ค่า e อย่างพอดี.
เมื่อ x=1 ความสูงของกราฟคือ e ≈ 2.718 และความชันของเส้นสัมผัสก็เป็น e เช่นกัน ไม่มีฐานอื่น b^x ที่มีสม บัตินี้.
ยาค็อบ แบร์นูลลี ค้นพบ e ในปี 1683 ระหว่างศึกษาดอกเบี้ยทบต้น ออยเลอร์ตั้งชื่อมันว่า e ในปี 1731 มันเป็นจำนวนอตรรกยะ (ออยเลอร์, 1737) และเป็นจำนวนทรานเซนเดนทัล (แอร์มิต, 1873) การกระจายตัวแบบทศนิยมของมัน 2.71828182845904523536… ไม่มีวันซ้ำเป็นคาบ.
เริ่มต้นด้วยเงิน $1 ที่ดอกเบี้ย 100% ต่อปี: ทบต้นรายเดือนให้ $2.613 รา ยวันให้ $2.714 ทุกวินาทีให้ $2.718 และลิมิตเมื่อ n→∞ คือ e อย่างพอดี.
e (จำนวนออยเลอร์) มีค่าประมาณ 2.71828182845904523536 เป็นจำนวนเพียงตัวเดียวที่ทำให้ฟังก์ชัน e^x เท่ากับอนุพันธ์ของตัวเองทุกจุด ยาค็อบ แบร์นูลลี ค้นพบมันในปี 1683 ระหว่างศึกษาดอกเบี้ยทบต้น เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ตั้งชื่อมันว่า e ราวปี 1731 e เป็นจำนวนอตรรกยะ (ออยเลอร์, 1737) และเป็นจำนวนทรานเซนเดนทัล (แอร์มิต, 1873) มันปรากฏในการเติบโตและการสลายตัวอย่างต่อเนื่อง ในลอการิทึมธรรมชาติ ในการแจกแจงปกติ ในดอกเบี้ยทบต้น ในการสลายตัวของกัมมันตรังสี และในเอกลักษณ์ของออยเลอร์ e^(i*pi) + 1 = 0.
จำนวนออยเลอร์ e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the อนุกรมเทย์เลอร์.