ค่าคงที่แอร์ดิช-บอร์ไวน์ E คือผลบวก 1/(2¹−1) + 1/(2²−1) + 1/(2³−1) + ⋯ = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + 1/31 + ⋯ ตัวส่วนเหล่านี้คือจำนวนเมอร์แซนน์ 2ⁿ − 1 พอล แอร์ดิชพิสูจน์ในปี 1948 ว่า E เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยใช้เพียงสมบัติพื้นฐานของการเขียนเลขฐานสอง.
ผลบวกย่อยลู่เข้าอย่างรวดเร็วสู่ E ≈ 1.6066951524 ตัวส่วน 2^n−1 เติบโตแบบเรขาคณิต จึงลู่เข้าเร็วกว่าปัญหาบาเซิลมาก.
อนุกรมนี้ลู่เข้าเร็วแบบเรขาคณิต: แต่ละพจน์มีค่าประมาณครึ่งหนึ่งของพจน์ก่อนหน้า (เพราะเมื่อ n ใหญ่ 2ⁿ − 1 ≈ 2ⁿ) หลังจากเพียง 20 พจน์ ผลบวกก็แม่นยำถึง 6 ตำแหน่งทศนิยมแล้ว ความเท่ากัน E = Σ d(n)/2ⁿ (โดยที่ d(n) นับจำนวนตัวหารคี่ของ n) เชื่อมค่าคงที่นี้เข้ากับทฤษฎีการหารลงตัวด้วย.
คำถามว่า E เป็นจำนวนทรานเซนเดนทัลหรือไม่นั้นยังเปิดอยู่ สิ่งที่ทำให้บทพิสูจน์ความเป็นอตรรกยะของแอร์ดิชน่าจดจำคือความประหยัดของมัน: เขาใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าการเขียนเลขฐานสองของตัวส่วน 1, 3, 7, 15, 31… (ซึ่งคือ 1, 11, 111, 1111, 11111 ในฐานสอง) มีโครงสร้างพิเศษที่ทำให้ผลบวกนี้ไม่อาจเป็นจำนวนตรรกยะได้ ค่าโดยประมาณคือ 1.60669515245214159769492939967985…
แต่ละตัวส่วน 2^n - 1 มีค่า ประมาณเป็นสองเท่าของตัวก่อนหน้า ผลบวกลู่เข้าสู่ E ~1.6066951524.
ค่าคงที่แอร์ดิช-บอร์ไวน์ E = 1/1 + 1/3 + 1/7 + 1/15 + ... ≈ 1.60669 พอล แอร์ดิชพิสูจน์ในปี 1948 ว่ามันเป็นจำนวนอตรรกยะ โดยใช้สมบัติของเลขฐานสองของตัวส่วน 2^n - 1 นอกจากนี้ E ยังเท่ากับผลบวกของ d(n)/2^n โดยที่ d(n) นับจำนวนตัวหารคี่ของ n อนุกรมนี้ลู่เข้าอย่างรวดเร็วมาก เพราะแต่ละพจน์มีค่าประมาณครึ่งหนึ่งของพจน์ก่อนหน้า ส่วนคำถามว่ามันเป็นจำนวนทรานเซนเดนทัลหรือไม่ยังไม่ทราบ ค่าของมันคือ 1.60669515245214159769492939967985...