เอกลักษณ์ของออยเลอร์ได้มาจากสูตรของออยเลอร์: eix = cos(x) + i·sin(x) เมื่อกำหนด x = π จะได้ eiπ = cos(π) + i·sin(π) = −1 ดังนั้น eiπ + 1 = 0
eiθ เคลื่อนที่ไปตามวงกลมหนึ่งหน่วย หมุนด้วย π จะไปถึง −1 แล้วบวก 1 ก็ได้ 0
มันเชื่อม เลขคณิต (0 และ 1), พีชคณิต (i), เรขาคณิต (π) และ การวิเคราะห์ (e) — สี่แขนงที่ต่างกันของคณิตศาสตร์ — ไว้ในสมการเดียวที่เรียบง่ายอย่างน่าทึ่ง ริชาร์ด ไฟน์แมนเรียกมันว่า “สูตรที่น่าทึ่งที่สุดในคณิตศาสตร์”
เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ตีพิมพ์สูตร eix = cos(x) + i·sin(x) ในหนังสือ Introductio in analysin infinitorum (1748) เอกลักษณ์นี้คือกรณีพิเศษเมื่อ x = π ออยเลอร์เป็นผู้เสนอหรือทำให้สัญลักษณ์ e, i, f(x), Σ และ π แพร่หลาย
อนุกรมเทย์เลอร์ของ eˣ จัดกลุ่มเป็น cos(π) สำหรับพจน์จริง และ i·sin(π) สำหรับพจน์จินตภาพ เนื่องจาก cos(π) = −1 และ sin(π) = 0 เราจึงได้ e^(iπ) = −1 ดังนั้น e^(iπ) + 1 = 0.
สูตร e^(i*theta) จะลากวงกลมหนึ่งหน่วยบนระนาบเชิงซ้อนเมื่อค่า theta เพิ่มขึ้น e^(i*pi) คือการหมุนจาก 1 ไปอย่างพอดี π เรเดียน (180 องศา) จนไปถึง -1 เมื่อบวก 1 เข้าไป คุณก็กลับมาที่ 0 นี่คือเหตุผลที่ e^(i*pi) + 1 = 0: มันคือการหมุนครึ่งรอบบนระนาบเชิงซ้อนที่เขียนออกมาเป็นสมการ.
e^(iθ) เป็นตัวดำเนินการการหมุน เมื่อ θ=π คุณได้หมุนครบครึ่งวงกลมพอดี จุด 1 บนแกนจริงจึงเคลื่อนไปยัง -1 เมื่อนำ 1 ไปบวกทั้งสองข้างจึงได้ e^(iπ) + 1 = 0.
เอกลักษณ์ของออยเลอร์ e^(iπ) + 1 = 0 รวมค่าคงที่สำคัญที่สุดห้าค่าในคณิตศาสตร์ไว้ด้วยกัน ได้แก่ e (ฐานของลอการิทึมธรรมชาติ), i (หน่วยจินตภาพ), π (ค่าคงที่ของวงกลม), 1 (เอกลักษณ์การคูณ) และ 0 (เอกลักษณ์การบวก) มันได้มาจากสูตรของออยเลอร์ e^(iθ) = cos(θ) + i·sin(θ) โดยแทนค่า θ = π โดยตรง เมื่อ cos(π) = -1 และ sin(π) = 0 เราจึงได้ e^(iπ) = -1 ผลงานนี้ตีพิมพ์ครั้งแรกราวปี 1748 โดยออยเลอร์ และได้รับการโหวตหลายครั้งว่าเป็นสมการที่งดงามที่สุดในคณิตศาสตร์.