ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสเชื่อมแนวคิดสองอย่างที่ดูแยกจากกันเข้าด้วยกัน ภาคที่ 1: ถ้าคุณหาปริพันธ์ของฟังก์ชันจากจุดคงที่หนึ่งถึง x แล้ว อนุพันธ์ของปริพันธ์นั้นจะกลับมาเป็นฟังก์ชันเดิม ภาคที่ 2: ปริพันธ์จำกัดเขตของ f จาก a ถึง b เท่ากับปริพันธ์ไม่จำกัดเขตใด ๆ F ที่ประเมินที่ b ลบ F ที่ a.
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2.667 ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต F(x) = x³/3 ให้พื้นที่ที่แน่นอนโดยไม่ต้องประมาณค่า.
ก่อนมีทฤษฎีบทนี้ การคำนวณพื้นที่ต้องอาศัยผลบวกของรีมันน์: แบ่งบริเวณออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าบาง ๆ รวมค่าทั้งหมด แล้วจึงหาลิมิต ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสแทนกระบวนการทั้งหมดนั้นด้วยการลบเพียงครั้งเดียว นิวตันเข้าใจแนวคิดนี้ภายในปี 1666 และไลบ์นิซค้นพบอย่างอิสระในปี 1675 ข้อพิพาทเรื่องใครมาก่อนทำให้คณิตศาสตร์ยุโรปภาคพื้นทวีปกับอังกฤษแยกแนวทางกันไปชั่วรุ่นหนึ่ง.
ทุกปริพันธ์ที่สอนในวิชาแคลคูลัสใช้ภาคที่ 2: หาปริพันธ์ไม่จำกัดเขต ประเมินค่าที่ปลายช่วง แล้วลบกัน วิธีนี้ใช้ได้เพราะการหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์เป็นกระบวนการผกผันกันอย่างพอดี มันเป็นหนึ่งในผลลัพธ์ที่ลึกซึ้งและมีประโยชน์มากที่สุดในคณิตศาสตร์ทั้งหมด.
ผลบวกของรีมันน์ด้วยสี่ เหลี่ยม 8 อันให้ค่า ≈ 0.273 ส่วนคำตอบที่แน่นอนคือ 8/3 ≈ 2.667 ทฤษฎีบทมูลฐานให้คำตอบที่แน่นอนโดยไม่ต้องใช้สี่เหลี่ยมเลย.
งานที่แรงแปรผัน F(x) กระทำตลอดการเคลื่อนที่จาก a ถึง b คือ W = ปริพันธ์จาก a ถึง b ของ F(x) dx = P(b) - P(a) โดยที่ P คือฟังก์ชันพลังงานศักย์ซึ่งมีสมบัติ P' = -F ความเร็วเมื่ออินทิเกรตจะได้การกระจัด แรงเมื่ออินทิเกรตจะได้อิมพัลส์ ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสคือสิ่งที่ทำให้การคำนวณเหล่านี้จัดการได้ โดยไม่ต้องอาศัยผลบวกของรีมันน์จำนวนอนันต์.