อนุกรมฮาร์มอนิก 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ เป็นอนุกรมลู่ออก แต่โตช้ามากอย่างเหลือเชื่อ แม้รวมถึงหนึ่งล้านพจน์ ค่าก็เพิ่งเลย 14 ไปเล็กน้อย ลอการิทึมธรรมชาติ ln(n) เติบโตด้วยอัตราเดียวกัน ค่าคงที่ออยเลอร์-มัสเครอนี γ คือช่องว่างที่แม่นยำระหว่างสองสิ่งนี้: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
ผลต่างระหว่างผลบวกฮาร์มอนิกกับ ln(n) จะเข้าใกล้ γ ≈ 0.5772 เมื่อ n → ∞ การลู่เข้าช้ามาก โดยที่ n = 1000 ช่องว่างยังประมาณ 0.001 อยู่
γ ปรากฏอยู่ทั่วทั้งการวิเคราะห์และทฤษฎีจำนวน มันเชื่อมอนุกรมฮาร์มอนิกเข้ากับฟังก์ชันรีมันน์ซีตา โดยในความหมายเชิงรูปแบบมีความสัมพันธ์ว่า γ = -ζ'(1) มันยังปรากฏในฟังก์ชันแกมมา Γ'(1) = -γ ในการกระจายของช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะ ในฟังก์ชันเบสเซล และในการขยายแบบอะซิมป์โทติกของฟังก์ชันไดแกมมา.
คำถามว่า γ เป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะนับเป็นหนึ่งในปัญหาเปิดที่เก่าแก่ที่สุดของคณิตศาสตร์ นักคณิตศาสตร์แทบทุกคนเชื่อว่ามันเป็นจำนวนทรานเซนเดนทัล แต่ยังไม่มีบทพิสูจน์ ปัจจุบันมีการคำนวณค่าไปแล้วมากกว่า 6 แสนล้านตำแหน่งทศนิยม: 0.57721566490153286060651209008240243…
ผลบวกย่อยของอนุกรมฮาร์มอนิก H(n) (สีแดง แบบขั้นบันได) เทียบกับ ln(n)+γ (สีน้ำเงิน แบบเรียบ) ช่องว่างระหว่างสองเส้นเข้าใกล้ 0 แต่แกว่งไปมา: H(n)−ln(n) → γ
ค่าคงที่ออยเลอร์-มัสเครอนี แกมมา มีค่าประมาณ 0.57721566490153286060 ยังไม่ทราบว่ามันเป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ ซึ่งเป็นหนึ่งในปัญหาเปิดที่มีชื่อเสียงที่สุดของคณิตศาสตร์ ออยเลอร์ตีพิมพ์มันเป็นครั้งแรกในปี 1734 ส่วน Mascheroni คำนวณมันได้อย่างอิสระในปี 1790 γ ปรากฏในฟังก์ชันแกมมา ฟังก์ชันรีมันน์ซีตา ทฤษฎีบทของเมอร์เทนส์เกี่ยวกับผลคูณของจำนวนเฉพาะ ฟังก์ชันเบสเซล และการกระจายของช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะ เนื่องจากยังไม่มีอัลกอริทึมแบบสตรีมมิง ตัวเลขของมันจึงถูกคำนวณล่วงหน้าและจัดเก็บไว้.
ค่าคงที่ออยเลอร์-มัสเครอนี γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the ขีดจำกัดฮาร์มอนิก-ลอการิทึม.