ฟังก์ชัน e^(−x²) คือเส้นโค้งรูประฆัง: มันมีค่าสูงสุดเท่ากับ 1 ที่ x = 0 และลดลงอย่างสมมาตรไปสู่ 0 ทั้งสองด้าน พื้นที่ใต้กราฟนี้ตลอดเส้นจำนวนจริงทั้งหมดมีค่าเท่ากับ √π ≈ 1.7724 อย่างพอดี นี่เป็นเรื่องน่าทึ่ง เพราะ e และ π ซึ่งมักปรากฏในบริบทแยกกัน กลับมาพบกันในปริพันธ์ที่ง่ายที่สุดของทฤษฎีความน่าจะเป็น.
ปริพันธ์ของ e^(−x²) ตลอดทุกค่า x มีค่าเท่ากับ √π ≈ 1.7725 นี่คือปริพันธ์เกาส์เซียน และเมื่อนำไปหารด้วย √(2π) จะได้การทำให้โค้งของการแจกแจงปกติมาตรฐานมีพื้นที่รวมเท่ากับ 1.
บทพิสูจน์นี้เป็นหนึ่งในกลเม็ดที่สง่างามที่สุดในคณิตศาสตร์ ให้ I = ∫e^(−x²)dx จากนั้นคำนวณ I² โดยเขียนมันเป็นปริพันธ์สองชั้นเหนือ x และ y แล้วเปลี่ยนไปใช้พิกัดเชิงขั้ว r, θ ฟังก์ชันภายในปริพันธ์จะกลายเป็น e^(−r²) และองค์ประกอบพื้นที่จะกลายเป็น r·dr·dθ พจน์ r ทำให้ปริพันธ์กลายเป็นเรื่องพื้นฐาน: ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2 เมื่อคูณด้วย ∫₀^(2π) dθ = 2π ก็ได้ I² = π ดังนั้น I = √π.
การแจกแจงปกติ ทฤษฎีบทขีดจำกัดส่วนกลาง ฟังก์ชันคลื่นในกลศาสตร์ควอนตัม (ซึ่งใช้แพ็กเก็ตคลื่นแบบเกาส์เซียน) และสูตรประมาณค่าแฟกทอเรียลของสเตอร์ลิง ต่างก็อาศัยปริพันธ์เดียวนี้ ค่า √π จะปรากฏทุกครั้งที่มีการอินทิเกรต e^(−x²) และสิ่งนี้เกิดขึ้นแทบทุกหนแห่งในความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่อง.
ปริพันธ์เกาส์เซียนคือ ปริพันธ์จาก -อนันต์ ถึง +อนันต์ ของ e^(-x^2) dx = sqrt(pi) บทพิสูจน์อันงดงามทำโดยยกปริพันธ์ขึ้นกำลังสอง เปลี่ยนเป็นพิกัดเชิงขั้ว แล้วประเมินค่าได้อย่างแน่นอน นี่คือการคำนวณสำคัญที่อยู่เบื้องหลังการแจกแจงปกติ: ความหนาแน่นความน่าจะเป็น (1/sqrt(2*pi))*e^(-x^2/2) มีปริพันธ์รวมเท่ากับ 1 ฟังก์ชันเกาส์เซียนปรากฏในกลศาสตร์ควอนตัม การแพร่ความร้อน สูตรประมาณของสเตอร์ลิง และสถิติทุกสาขา.