ค่าคงที่ของเกลฟอนด์คือ e ยกกำลัง π มีค่าประมาณ 23.14069263277927… การพิสูจน์ว่ามันเป็นจำนวนทรานเซนเดนทัลคือปัญหาข้อที่ 7 ของฮิลเบิร์ต ซึ่งถูกตั้งไว้ในปี 1900 ให้เป็นหนึ่งใน 23 ปัญหาที่ยังไม่แก้ที่สำคัญที่สุดของศตวรรษที่ 20 อเล็กซานเดอร์ เกลฟอนด์ แก้ปัญหานี้ได้ในปี 1934.
e^π อยู่ใกล้ 23 อย่างชวนสงสัย แต่พลาดไป 0.14 ความบังเอิญ e^π - π ≈ 19.999 ก็ใกล้ยิ่งกว่า แต่ไม่มีความหมายทางคณิตศาสตร์เช่นกัน
ทฤษฎีบทเกลฟอนด์-ชไนเดอร์ (1934) กล่าวว่า ถ้า a เป็นจำนวนพีชคณิตที่ไม่ใช่ 0 หรือ 1 และ b เป็นจำนวนพีชคณิตที่เป็นอตรรกยะแล้ว a^b จะเป็นจำนวนทรานเซนเดนทัล ค่าคงที่ของเกลฟอนด์มีรูป e^π = (e^(iπ))^(−i) = (−1)^(−i) ตรงนี้ a = −1 (เป็นพีชคณิต) และ b = −i (เป็นพีชคณิตและเป็นอตรรกยะ) ดังนั้นทฤษฎีบทจึงใช้ได้โดยตรง.
ตารางตัวอย่างจำนวนที่พิสูจน์ว่าเป็นทรานเซนเดนทัลด้วยทฤษฎีบทเกลฟอนด์-ชไนเดอร์
| นิพจน์ | a | b | ผลลัพธ์ |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | ทรานเซนเดนทัล |
| 2^√2 (Hilbert) | 2 | √2 | ทรานเซนเดนทัล |
| √2^√2 | √2 | √2 | ทรานเซนเดนทัล |
ความใกล้เคียงเชิงตัวเลข e^π − π ≈ 19.9990999 ยังไม่มีคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ที่รู้จัก น่าจะเป็นเพียงความบังเอิญ แต่ความบังเอิญลักษณะคล้ายกันบางอย่าง (เช่นค่าคงที่ของรามานุจัน) บางครั้งก็มีเหตุผลลึกซึ้งอยู่เบื้องหลัง e^π ถูกคำนวณไปแล้วถึงหลายล้านตำแหน่งทศนิยม: 23.14069263277926900572908636794854738…
e^π > π^e พิสูจน์ได้โดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข: ฟังก์ชัน x^(1/x) มีค่าสูงสุดที่ x=e ดังนั้น e^(1/e) > π^(1/π) ซึ่งให้ e^π > π^e
ค่าคงที่ของเกลฟอนด์ e^π ≈ 23.14069 การพิสูจน์ว่ามันเป็นทรานเซนเดนทัลคือปัญหาข้อที่ 7 ของฮิลเบิร์ต (1900) เกลฟอนด์แก้ได้ในปี 1934: ถ้า a เป็นพีชคณิต (แต่ไม่ใช่ 0 หรือ 1) และ b เป็นพีชคณิตที่เป็นอตรรกยะแล้ว a^b จะเป็นทรานเซนเดนทัล เนื่องจาก e^π = (-1)^(-i) โดย -1 และ -i เป็นจำนวนพีชคณิต และ -i เป็นอตรรกยะ จึงเข้าเงื่อนไขของทฤษฎีบทนี้ ความใกล้เคียง e^π - pi ≈ 19.999 ยังไม่มีคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ที่รู้จัก.