อนุกรมฮาร์มอนิกคือผลบวกของเศษส่วนหนึ่งส่วนทุกตัว ทุกพจน์ 1/n มีค่าเข้าใกล้ศูนย์ ซึ่งอาจทำให้คิดว่าผลบวกน่าจะลู่เข้า แต่จริง ๆ แล้วไม่ใช่ หลักฐานใช้การจัดกลุ่ม: 1/3+1/4 > 1/2 จากนั้น 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2 และแต่ละกลุ่มเช่นนี้เพิ่มอย่างน้อย 1/2 ดังนั้นผลรวมจึงมากเกินขอบเขตใด ๆ ได้เสมอ ถึงอย่างนั้นมันก็ลู่ออกอย่างช้ามากผิดปกติ: หากต้องการให้ผลบวกย่อยถึง 100 ต้องใช้จำนวนพจน์มากกว่าจำนวนอะตอมในเอกภพที่สังเกตได้.
H(n) และ ln(n) เติบโตไปด้วยกัน โดยต่างกันประมาณ γ ≈ 0.5772 อยู่เสมอ ทั้งคู่ลู่ออก: หากต้องการให้ H(n) = 100 ต้องใช้ประมาณ 10^43 พจน์
ต้องใช้ป ระมาณ 10^43 พจน์จึงจะได้ H(n)=100 มากกว่าจำนวนอะตอมในเอกภพที่สังเกตได้
อนุกรมฮาร์มอนิก 1 + 1/2 + 1/3 + ... ลู่ออก พิสูจน์โดย Nicole Oresme ราวปี 1350 แม้ว่าทุกพจน์จะเข้าใกล้ศูนย์ แต่ผลรวมก็ยังเกินขอบเขตใด ๆ ได้เสมอ ผลบวกย่อยเติบโตเหมือน ln(n) + gamma โดยที่ gamma ≈ 0.5772 คือค่าคงที่ออยเลอร์-มัสเครอนี หลังหนึ่งล้านพจน์ ผลรวมยังมีค่าเพียงประมาณ 14 หากต้องการให้ถึง 100 ต้องใช้มากกว่า 10^43 พจน์ ส่วนอนุกรมสลับเครื่องหมาย 1 - 1/2 + 1/3 - ... ลู่เข้าไปหา ln 2.