จำนวนหนึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะ ถ้ามันไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วน p/q โดยที่ p และ q เป็นจำนวนเต็มได้ การขยายตัวแบบทศนิยมของมันไม่มีวันสิ้นสุดและไม่มีวันซ้ำแบบเป็นคาบ sqrt(2), pi, e และ ฟี ล้วนเป็นจำนวนอตรรกยะ พวกมันไม่ใช่ข้อยกเว้น แต่เป็นส่วนใหญ่ของเส้นจำนวนจริง.
สีน้ำเงิน: จำนวนตรรกยะ (เศษส่วนที่แน่นอน) สีแดง: จำนวนอตรรกยะ (ทศนิยมที่ไม่ซ้ำ) ระหว่างจำนวนตรรกยะสองจำนวนใด ๆ ย่อมมีจำนวนอตรรกยะอยู่ และในทางกลับกันก็เช่นกัน
ตารางเปรียบเทียบจำนวนตรรกยะที่มีทศนิยมสิ้นสุดหรือซ้ำเป็นคาบ กับจำนวนอตรรกยะที่มีทศนิยมไม่สิ้นสุดและไม่ซ้ำ
| ตรรกยะ: สิ้นสุดหรือซ้ำเป็นคาบ | อตรรกยะ: ไม่ซ้ำเลย |
|---|---|
| 1/4 = 0.25000... | sqrt(2) = 1.4142135... |
| สิ้นสุด | ไม่มีรูปแบบ ซ้ำไม่ได้เลย |
| 1/3 = 0.3333... | pi = 3.1415926... |
| ช่วงที่ซ้ำ: {3} | ไม่มีรูปแบบ ซ้ำไม่ได้เลย |
| 22/7 = 3.142857... | e = 2.7182818... |
| ช่วงที่ซ้ำ: {142857} | ไม่มีรูปแบบ ซ้ำไม่ได้เลย |
| 5/11 = 0.454545... | ฟี = 1.6180339... |
| ช่วงที่ซ้ำ: {45} | ไม่มีรูปแบบ ซ้ำไม่ได้เลย |
แม้จำนวนตรรกยะจะมีอยู่ไม่สิ้นสุด แต่สามารถเรียงเป็นรายการได้ (นับได้) ส่วนจำนวนอตรรกยะไม่สามารถเรียงเป็นรายการได้ หากคุณสุ่มเลือกจำนวนจริงหนึ่งจำนวน ความน่าจะเป็นที่มันจะเป็นจำนวนตรรกยะเท่ากับศูนย์พอดี
จำนวนหนึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะ ถ้ามันไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วน p/q โดยที่ p และ q เป็นจำนวนเต็มได้ การขยายตัวแบบทศนิยมของมันไม่มีวันสิ้นสุดและไม่มีวันซ้ำแบบเป็นคาบ รากที่สองของ 2, π, e และ φ ล้วนเป็นจำนวนอตรรกยะ ชาวกรีกโบราณค้นพบความเป็นอตรรกยะของ √2 ผ่านเรขาคณิต ซึ่งเป็นเหตุการณ์ที่เปลี่ยนประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ไปอย่างลึกซึ้ง ในบรรดาจำนวนจริงทั้งหมด จำนวนตรรกยะเป็นเพียงส่วนน้อยแบบนับได้ ขณะที่จำนวนอตรรกยะมีมากกว่าอย่างท่วมท้น.