จำนวนจริงทุกจำนวนมีเศษส่วนต่อเนื่อง: x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ⋯)) จำนวนเต็ม a₁, a₂, a₃, … เรียกว่าพจน์ต่อเนื่องย่อย สำหรับ π เราได้ 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2… สำหรับ √2 เราได้ 1; 2, 2, 2, 2, 2… (เป็นคาบ ทั้งหมดเป็น 2) คินชินพิสูจน์ในปี 1934 ว่าสำหรับจำนวนจริงแทบทุกจำนวน ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของพจน์ต่อเนื่องย่อยจะลู่เข้าไปหาค่าคงที่เดียวกัน K₀ ≈ 2.68545.
P(k) = log₂(1 + 1/k(k+2)). ตัวหารย่อยตัวแรกที่มีค่า 1 ปรากฏในเศษส่วนต่อเนื่องของจำนวนจริงแบบสุ่มประมาณ 41% ของกรณีทั้งหมด
สูตรของ K₀ คือ K₀ = ∏_{k=1}^{∞} (1 + 1/(k(k+2)))^{log₂(k)} ซึ่งลู่เข้าช้ามาก ทฤษฎีบทของคินชินเป็นตัวอย่างของผลลัพธ์ที่จริงสำหรับ “แทบทุกจำนวน” แต่กลับไม่สามารถยืนยันได้กับค่าคงที่เฉพาะตัวใดเลย เรายังไม่สามารถชี้ตัวอย่างที่ได้รับการยืนยันแม้แต่หนึ่งจำนวนซึ่งปฏิบัติตามทฤษฎีบทนี้ได้.
เมื่อถึง k=3 เราก็ครอบคลุมตัวหารย่อยได้มากกว่าสองในสามของทั้งหมดแล้ว ลำดับนี้ค่อย ๆ ลู่เข้าไปหา 1 อย่างช้า ๆ
ข้อเท็จจริงที่ว่าค่า 1 ครองสัดส่วนมากถึง 41.5% อธิบายว่าเหตุใด K₀ ≈ 2.685 จึงน้อยกว่า 3: ค่าที่เล็กดึงค่าเฉลี่ยเรขาคณิตลงมา หากตัวเลข 1 ถึง 9 มีโอกาสเกิดเท่ากันหมด ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตจะเป็น (1·2·3⋯9)^(1/9) = 9!^(1/9) ≈ 4.15 การให้น้ำหนักกับค่า 1 อย่างมากทำให้ K₀ เล็กกว่านั้นอย่างเห็นได้ชัด.
ค่าคงที่ของคินชิน K₀ ≈ 2.68545 เป็นลิมิตสากล: สำหรับจำนวนจริงแทบทุกจำนวน x = [a₀; a₁, a₂, ...] ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของพจน์ต่อเนื่องย่อย (a₁·a₂·...·aₙ)^(1/n) จะลู่เข้าไปหา K₀ คินชินพิสูจน์ในปี 1934 สิ่งที่น่าทึ่งคือความเป็นสากลนี้: จำนวนแทบทุกจำนวนมีค่าเฉลี่ยเรขาคณิตเดียวกัน แต่ผลลัพธ์นี้กลับยังไม่สามารถยืนยันได้กับค่าคงที่ที่รู้จักเฉพาะตัวใด เช่น π หรือ e และเรายังไม่รู้ว่า K₀ เป็นจำนวนพีชคณิตหรือทรานเซนเดนทัล.