จำนวนจริงทุกจำนวนมีการประมาณด้วยเศษส่วนอย่างดีที่สุดอยู่เสมอ นั่นคือเศษส่วน p/q ที่เข้าใกล้ x มากกว่าเศษส่วนใด ๆ ที่มีตัวส่วนน้อยกว่า ตัวส่วน q₁, q₂, q₃, … เติบโตขึ้น แต่เติบโตเร็วเพียงใด? Paul Lévy พิสูจน์ในปี 1935 ว่าสำหรับจำนวนจริงแทบทุกจำนวน qₙ^(1/n) จะลู่เข้าไปหา e^β ≈ 3.27582 โดยที่ β = π²/(12 ln 2).
สำหรับจำนวนจริงแทบทั้งหมด ln(qₙ) เติบโตเชิงเส้นด้วยความชัน β ≈ 1.1865 ตัวส่วนของคอนเวอร์เจนต์ของ π (1, 7, 106, 113, 33102…) เติบโตเร็วกว่าโดยเฉลี่ย เพราะมีพจน์ต่อเนื่องย่อยผิดปกติคือ 292
อัตราส่วนทองคำ φ = [1;1,1,1,…] มีตัวส่วนแบบฟีโบนัชชี 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … ซึ่งเติบโตด้วยอัตรา φ ≈ 1.618 ต่อหนึ่งขั้น นี่ช้ากว่า e^β ≈ 3.276 มาก จึงเป็นเหตุผลว่าทำไม φ จึงเป็นจำนวนที่ “อตรรกยะที่สุด” เพราะการประมาณของมันดีขึ้นช้าที่สุด จำนวนส่วนใหญ่มีตัวส่วนที่เติบโตเร็วกว่านี้มาก คือเติบโตด้วยอัตรา e^β.
การเปรียบเทียบอัตราการเติบโตของตัวส่วนระหว่างอัตราส่วนทองคำกับจำนวนทั่วไป
| φ = [1;1,1,1,…] | จำนวนทั่วไป |
|---|---|
| qₙ เติบโตแบบ φⁿ ≈ 1.618ⁿ | qₙ เติบโตแบบ (e^β)ⁿ ≈ 3.276ⁿ |
| การเติบโตที่ช้าที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ | ทฤษฎีบทของเลวี |
ค่า β = π²/(12 ln 2) เกิดขึ้นจากการอินทิเกรตการแจกแจงแบบเกาส์-คุซมิน ค่า ln 2 มาจากการทำงานในฐาน 2 และค่า π² มาจากแหล่งเดียวกับ ζ(2) = π²/6 ค่าคงที่ของเลวีคือ 1.1865691104156254… และ e^β = 3.275822918721811159787681882…
พจน์ต่อเนื่องย่อย 292 ในขั้นที่ 5 ทำให้ตัวส่วนของ π เติบโตเร็วกว่าค่าเฉลี่ยมาก สำหรับจำนวน “ทั่วไป” อัตราส่วน ln(qₙ)/n → β ≈ 1.187
| n | พจน์ต่อเนื่องย่อย aₙ | คอนเวอร์เจนต์ pₙ/qₙ | ตัวส่วน qₙ | ln(qₙ)/n |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 3/1 | 1 | 0.00 |
| 2 | 7 | 22/7 | 7 | 0.97 |
| 3 | 15 | 333/106 | 106 | 1.55 |
| 4 | 1 | 355/113 | 113 | 1.19 |
| 5 | 292 | 103993/33102 | 33102 | 2.52 |
| 6 | 1 | 104348/33215 | 33215 | 1.74 |
| 7 | 1 | 208341/66317 | 66317 | 1.54 |
ค่าคงที่ของเลวี β = π²/(12 ln 2) ≈ 1.18657 สำหรับจำนวนจริงแทบทุกจำนวน ตัวส่วนของคอนเวอร์เจนต์ลำดับที่ n คือ qₙ จะมีพฤติกรรมที่ qₙ^(1/n) → e^β ≈ 3.27582 พิสูจน์โดย Paul Lévy ในปี 1935 อัตราส่วนทองคำซึ่งมีตัวส่วนแบบฟีโบนัชชีเติบโตด้วยอัตรา φ ≈ 1.618 ต่ำกว่าค่าเฉลี่ยมาก จึงยืนยันว่าเป็นจำนวนที่ประมาณได้ยากที่สุด สูตรนี้ผสมทั้ง π และ ln 2 เข้าด้วยกัน เชื่อมเรขาคณิต ทฤษฎีจำนวน และพลวัตของเศษส่วนต่อเนื่อง.