จงนำส่วนกลับของจำนวนเฉพาะทั้งหมดจนถึง n มาบวกกัน: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p ผลรวมนี้เติบโตขึ้น แต่ช้าอย่างยิ่ง คือเติบโตตาม ln(ln(n)) ค่าคงที่ไมเซิล-เมอร์เทนส์ M คือช่องว่างที่แม่นยำระหว่างผลรวมนี้กับพจน์หลักของมัน เช่นเดียวกับที่ค่าคงที่ออยเลอร์-มัสเครอนี γ เป็นช่องว่างระหว่างอนุกรมฮาร์มอนิกกับ ln(n).
ออยเลอร์พิสูจน์ในปี 1737 ว่าผลรวมของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะทั้งหมดนั้นลู่ออก ข้อนี้ยากกว่าการพิสูจน์ว่ามีจำนวนเฉพาะอยู่ไม่สิ้นสุดมาก และให้ภาพเชิงปริมาณว่าจำนวนเฉพาะหนาแน่นเพียงใด จากนั้นทฤษฎีบทของเมอร์เทนส์ระบุว่า Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n) ทำให้ M เป็นพจน์ค่าคงที่ที่แม่นยำ.
การเปรียบเทียบเคียงกันของค่าคงที่ออยเลอร์-มัสเครอนีกับค่าคงที่ไมเซิล-เมอร์เทนส์
| ออยเลอร์-มัสเครอนี γ | ไมเซิล-เมอร์เทนส์ M |
|---|---|
| Σ 1/n − ln(n) → 0.5772 | Σ 1/p − ln(ln n) → 0.2615 |
| จำนวนเต็มทั้งหมด | เฉพาะจำนวนเฉพาะ |
M และ γ มีความสัมพันธ์กันโดย M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p) เรายังไม่รู้ว่าค่าคงที่ใดค่าคงที่หนึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะหรือไม่ ทั้งสองค่าถูกคำนวณไปถึงทศนิยมหลายพันล้านตำแหน่ง และเชื่อกันว่าน่าจะเป็นจำนวนทรานเซนเดนทัล แต่ยังไม่มีบทพิสูจน์สำหรับทั้งคู่ M = 0.261497212847642783755426838608669…
ผลบวกฮาร์มอนิก (สีน้ำเงิน): 2.93, 5.19, 7.49, 9.79 ส่วนผลรวมส่วนกลับของจำนวนเฉพาะที่เติบโตเหมือน ln(ln(n))+M มีค่าเพียง 0.84, 1.18, 1.52, 1.85 ที่จุดเดียวกัน
ค่าคงที่ออยเลอร์-มัสเครอนี แกมมา วัดช่องว่างระหว่างอนุกรมฮาร์มอนิก (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) กับ ln(n) ค่าคงที่ไมเซิล-เมอร์เทนส์ M ทำหน้าที่แบบเดียวกันสำหรับผลรวมส่วนกลับของจำนวนเฉพาะ (1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p) เทียบกับ ln(ln(n)) ทั้งสองตัวเป็นค่าคงที่แบบ “แก้ความคลาดเคลื่อน” ของอนุกรมลู่ออกที่เติบโตเชิงลอการิทึม.
ค่าคงที่ไมเซิล-เมอร์เทนส์ M ≈ 0.26149 ทำหน้าที่กับส่วนกลับของจำนวนเฉพาะแบบเดียวกับที่ค่าคงที่ออยเลอร์-มัสเครอนีทำกับอนุกรมฮาร์มอนิก เมอร์เทนส์พิสูจน์ในปี 1874 ว่า 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + ค่าคลาดเคลื่อนเล็กน้อย เรายังไม่รู้ว่า M เป็นจำนวนอตรรกยะหรือไม่ มันปรากฏในทฤษฎีบทของเมอร์เทนส์เกี่ยวกับผลคูณของจำนวนเฉพาะ และในความหนาแน่นของ จำนวนเรียบ อีกทั้ง M กับแกมมายังเชื่อมโยงกันด้วยผลบวกเฉพาะเจาะจงเหนือจำนวนเฉพาะทั้งหมด.