เลขคณิตมอดูลาร์คือเลขคณิตบนวงกลม จำนวนสองจำนวนจะสมมูลกันภายใต้โมดูลัส n ถ้าผลต่างของมันเป็นพหุคูณของ n นาฬิกาคือการคำนวณแบบ mod 12: ผ่านไป 10 ชั่วโมงหลังจาก 5 นาฬิกาจะได้ 3 ไม่ใช่ 15 แนวคิดที่ดูเรียบง่ายนี้เป็นรากฐานของวิทยาการเข้ารหัสสมัยใหม่ทั้งหมด ฟังก์ชันแฮช รหัสแก้ข้อผิดพลาด และทฤษฎีจำนวนส่วนใหญ่.
ทุกแถวและทุกคอลัมน์มี {0,1,2,3,4} ครบหนึ่งครั้งพอดี องค์ประกอบทั้งห้าสร้างกลุ่มปิดภายใต้การบวกแบบ mod 5 สีแดงหมายถึงผลบวกที่วนกลับรอบ (≥5).
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |
เลขคณิตมอดูลาร์นิยามความสมมูล: a สมมูลกับ b ภายใต้ mod n ถ้า n หาร a-b ลงตัว เกาส์จัดระบบแนวคิดนี้ไว้ในปี 1801 มันเป็นรากฐานของการเข้ารหัสแบบกุญแจสาธารณะสมัยใหม่ทั้งหมด: RSA อาศัยทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์ ซึ่งกล่าวว่า a^(p-1) จะสมมูลกับ 1 mod p สำหรับจำนวนเฉพาะ p ใด ๆ ที่ไม่หาร a ลงตัว ฟังก์ชันแฮชใช้การดำเนินการแบบมอดูลาร์เพื่อแมปข้อมูลขนาดใหญ่ไปเป็นผลลัพธ์ขนาดคงที่ จำนวนเต็ม mod n สร้างริงสมบูรณ์ และเมื่อ n เป็นจำนวนเฉพาะ มันจะเป็นฟิลด์จำกัด.