คณิตศาสตร์ได้สร้างระบบจำนวนหลักไว้ห้าระบบ โดยแต่ละระบบเป็นการขยายจากระบบก่อนหน้า ทุกการขยายมีแรงผลักจากสมการที่ก่อนหน้านั้นยังไม่มีคำตอบ: “3-5 เท่ากับอะไร?” บังคับให้เกิดจำนวนเต็ม “1/3 คืออะไร?” บังคับให้เกิดจำนวนตรรกยะ “√2 คืออะไร?” บังคับให้เกิดจำนวนจริง และ “sqrt(-1) คืออะไร?” บังคับให้เกิดจำนวนเชิงซ้อน.
ตารางแสดงคุณสมบัติที่ได้มาและสิ่งที่สูญเสียหรือเปลี่ยนไปเมื่อขยายระบบจำนวน
| ระบบ | ได้เพิ่ม | เสียหรือเปลี่ยนไป |
|---|---|---|
| N (จำนวนธรรมชาติ) | การนับ, +, × | ยังลบไม่ได้ |
| Z (จำนวนเต็ม) | การลบ, จำนวนลบ | ยังหารไม่ได้ |
| Q (จำนวนตรรกยะ) | การหาร, เศษส่วน | ยังไม่มี √2 |
| R (จำนวนจริง) | ลิมิตทั้งหมด, √2, pi | ยังไม่มี sqrt(-1) |
| C (จำนวนเชิงซ้อน) | รากของพหุนามทั้งหมด | ปิดเชิงพีชคณิต |
| H (ควอเทอร์เนียน) | การหมุนใน 3 มิติ | ab ไม่เท่ากับ ba |
| แต่ละการขยายคือการเพิ่มระบบจริง ๆ ไม่ใช่แค่เปลี่ยนชื่อ |
สีน้ำเงิน: จำนวนธรรมชาติ ℕ สีเขียวเพิ่ม 0 สีม่วงขยายไปสู่จำนวนเต็มลบ ℤ สีส้มเพิ่มเศษส่วน ℚ สีแดง: จำนวนอตรรกยะเติมเต็มส่วนที่เหลือของ ℝ.
คณิตศาสตร์มีระบบจำนวนหลักห้าระบบ: จำนวนธรรมชาติ N (ใช้ในการนับ ยังลบไม่ได้), จำนวนเต็ม Z (เพิ่มการลบและจำนวนลบ), จำนวนตรรกยะ Q (เพิ่มการหาร), จำนวนจริง R (เพิ่มลิมิตและจำนวนอตรรกยะ), และจำนวนเชิงซ้อน C (เพิ่ม sqrt(-1)) แต่ละการขยายเกิดขึ้นเพื่อแก้สมการที่ระบบก่อนหน้าแก้ไม่ได้ จำนวนเชิงซ้อนเป็นระบบที่ปิดเชิงพีชคณิต: สมการพหุนามทุกสมการมีคำตอบอยู่ภายใน C การบรรจุนี้เป็นแบบเข้มงวด: N อยู่ใน Z อยู่ใน Q อยู่ใน R อยู่ใน C โดยมีจำนวนทรานเซนเดนทัลเติมพื้นที่ชั้นนอกของ R.