จำนวนสมบูรณ์
sigma(n) = 2n
ผลรวมของตัวหารทั้งหมด (รวม n ด้วย) เท่ากับสองเท่าของจำนวนนั้น
จำนวนสมบูรณ์คือจำนวนที่เท่ากับผลรวมของตัวหารแท้ทั้งหมดของมัน (คือตัวหารทุกตัว ยกเว้นตัวมันเอง) 6 = 1+2+3 และ 28 = 1+2+4+7+14 จำนวนเหล่านี้หายากอย่างยิ่ง: ปัจจุบันรู้จักเพียง 51 จำนวน ทั้งหมดเป็นจำนวนคู่ และมีขนาดเติบโตอย่างมหาศาล ยังไม่ทราบว่ามีจำนวนสมบูรณ์คี่อยู่หรือไม่ ซึ่งยังคงเป็นหนึ่งในปัญหาเปิดที่เก่าแก่ที่สุดของคณิตศาสตร์.
จำนวนสมบูรณ์สี่จำนวนแรก: ภาพของตัวหาร
ทฤษฎีบทของยุคลิด–ออยเลอร์: จำนวนสมบูรณ์คู่ ↔ จำนวนเฉพาะเมอร์แซนน์
n เป็นจำนวนสมบูรณ์คู่ ⟺ n = 2^(p−1) · (2^p − 1)
โดยที่ 2^p − 1 เป็นจำนวนเฉพาะเมอร์แซนน์
ยุคลิดพิสูจน์ทิศทาง → และออยเลอร์พิสูจน์ทิศทาง ← จำนวนสมบูรณ์ที่รู้จักทั้ง 51 จำนวนเป็นจำนวนคู่และมาจากสูตรนี้ทั้งหมด ส่วนจำนวนสมบูรณ์คี่ยังไม่ทราบว่ามีอยู่หรือไม่.
จำนวนสมบูรณ์บนสเกลลอการิทึม: เติบโตเร็วกว่าการเพิ่มแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล
ค่าที่แสดงเป็น log10 แม้บนสเกลลอการิทึม การกระโดดแต่ละครั้งก็ยังใหญ่ขึ้นอย่างชัดเจน จำนวนสมบูรณ์ลำดับที่ 51 มีตัวเลขมากกว่า 49 ล้านหลัก.
ข้อเท็จจริงสำคัญเกี่ยวกับจำนวนสมบูรณ์
จำนวนสมบูรณ์คือจำนวนที่เท่ากับผลรวมของตัวหารแท้ของมัน: 6 = 1+2+3 และ 28 = 1+2+4+7+14 ยุคลิดแสดงว่า 2^(p-1)*(2^p-1) จะเป็นจำนวนสมบูรณ์ทุกครั้งที่ 2^p-1 เป็นจำนวนเฉพาะ ออยเลอร์พิสูจน์บทกลับด้วยว่า จำนวนสมบูรณ์คู่ทุกจำนวนต้องมีรูปนี้ ยังไม่ทราบว่าจำนวนสมบูรณ์คี่มีอยู่หรือไม่ ซึ่งเป็นหนึ่งในปัญหาที่ยังไม่แก้ที่เก่าแก่ที่สุด และยังไม่เคยพบจำนวนดังกล่าวเลย ปัจจุบันรู้จักจำนวนสมบูรณ์เพียง 51 จำนวน ทั้งหมดเป็นจำนวนคู่ สอดคล้องกับจำนวนเฉพาะเมอร์แซนน์ที่รู้จักทั้ง 51 จำนวน.
Question
จำนวนสมบูรณ์คืออะไร?
tap · space
1 / 10