ให้เขียน π(n) แทนจำนวนของจำนวนเฉพาะที่ไม่เกิน n ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะกล่าวว่า π(n) เติบโตในลักษณะเดียวกับ n/ln(n) เมื่อ n มีค่ามากขึ้น ประมาณว่าในจำนวนทุก ๆ ln(n) จำนวนที่อยู่ใกล้ n จะมีจำนวนเฉพาะอยู่ 1 จำนวน ใกล้หนึ่งล้าน จะมีประมาณ 1 ใน 14 จำนวนที่เป็นจำนวนเฉพาะ ใกล้หนึ่งพันล้านจะเป็น 1 ใน 21.
π(n) นับจำนวนเฉพาะที่ไม่เกิน n (เส้นขั้นบันไดสีน้ำเงิน) ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะกล่าวว่า π(n) ~ n/ln(n) — อัตราส่วนเข้าใกล้ 1 เมื่อ n → ∞ และลอการิทึมอินทิกรัล Li(n) ใกล้ยิ่งกว่าอีก
เกาส์คาดผลลัพธ์นี้ไว้ราวปี 1800 หลังจากศึกษาตารางจำนวนเฉพาะ มันถูกพิสูจน์อย่างอิสระในปี 1896 โดย ฌัก อาดามาร์ และ ชาร์ล-ฌ็อง เดอ ลา วาแล-ปูแซ็ง ซึ่งทั้งคู่ใช้ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์และการวิเคราะห์เชิงซ้อน ต่อมาในปี 1948 เซลเบิร์ก และ แอร์ดิช พบการพิสูจน์แบบมูลฐานล้วน ๆ (โดยไม่ใช้การวิเคราะห์เชิงซ้อน) อย่างอิสระเช่นกัน.
ตารางแสดงความหนาแน่นของจำนวนเฉพาะในหลายสเกล
| ถึง n | จำนวนเฉพาะ π(n) | ความหนาแน่น ≈ 1/ln(n) |
|---|---|---|
| 1 000 | 168 | ประมาณ 1 ใน 7 |
| 1 000 000 | 78 498 | ประมาณ 1 ใน 14 |
| 10⁹ | 50 847 534 | ประมาณ 1 ใน 21 |
| 10¹² | 37 607 912 018 | ประมาณ 1 ใน 28 |
สมมติฐานรีมันน์จะให้ขอบเขตที่คมที่สุดต่อความคลาดเคลื่อน: |π(n) - Li(n)| ≤ √n · ln(n) / (8π) หากยังไม่มีมัน เรารู้เพียงว่าความคลาดเคลื่อนมีขนาดเป็น o(n/ln(n)) นี่จึงเป็นเหตุผลที่สมมติฐานรีมันน์ถูกมองว่าเป็นปัญหาเปิดที่สำคัญที่สุดของคณิตศาสตร์ เพราะมันจะบอกเราได้อย่างแม่นยำว่าช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะคาดเดาได้แค่ไหน.
ค่าประมาณของ π(n) ที่แม่นยำกว่า n/ln(n) คืออินทิกรัลลอการิทึม Li(n) = อินทิกรัลตั้งแต่ 2 ถึง n ของ dt/ln(t) เกาส์ชอบรูปแบบนี้ สำหรับ n = 1,000,000: n/ln(n) ให้ค่า 72,382 ขณะที่ Li(n) ให้ 78,628 เทียบกับค่าจริง 78,498 ความคลาดเคลื่อนของ Li(n) เล็กกว่ามาก สมมติฐานรีมันน์จะให้ขอบเขตของความคลาดเคลื่อนนี้อย่างแม่นยำที่ √n · ln(n)