ในสามเหลี่ยมมุมฉากทุกอัน พื้นที่กำลังสองบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลบวกของพื้นที่กำลังสองบนอีกสองด้าน ถ้าด้านประกอบมุมฉากยาว a และ b และด้านตรงข้ามมุมฉากยาว c จะได้ a² + b² = c² สามเหลี่ยม 3-4-5 ทำให้ 9 + 16 = 25.
a² + b² = c² สำหรับสามเหลี่ยม 3-4-5: 9 + 16 = 25 พื้นที่ของสี่เหลี่ยมสีน้ำเงินและสีแดงรวมกันเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมสีเขียว
แผ่นดินเหนียวของชาวบาบิโลนจากราว 1900 ปีก่อนคริสตกาลบันทึกสามจำนวนพีทาโกรัส เช่น (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17) แสดงว่าผลลัพธ์นี้เป็นที่รู้จักเชิงประจักษ์มานานก่อนพีทาโกรัส โรงเรียนของเขา (ราว 570 ปีก่อนคริสตกาล) ให้การพิสูจน์ครั้งแรก ปัจจุบันรู้จักการพิสูจน์มากกว่า 370 แบบ ทั้งเชิงพีชคณิต เชิงเรขาคณิต เชิงตรีโกณมิติ และยังมีแบบหนึ่งที่ตีพิมพ์โดยประธานาธิบดีสหรัฐ เจมส์ การ์ฟิลด์ ในปี 1876.
ตารางของพีทาโกรัสทริเปิล
| a | b | c | a²+b²=c² |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9+16=25 ✓ |
| 5 | 12 | 13 | 25+144=169 ✓ |
| 8 | 15 | 17 | 64+225=289 ✓ |
| 7 | 24 | 25 | 49+576=625 ✓ |
ใน n มิติ ระยะจากจุดกำเนิดถึง (x₁, x₂, …, xₙ) คือ √(x₁² + x₂² + ⋯ + xₙ²) ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ (พิสูจน์โดยแอนดรูว์ ไวลส์ ในปี 1995 หลังผ่านไป 358 ปี) แสดงว่าไม่มีคำตอบจำนวนเต็มของ aⁿ + bⁿ = cⁿ เมื่อ n มากกว่า 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัสคือกรณี n=2 ซึ่งมีคำตอบจำนวนเต็มอยู่ไม่สิ้นสุด.
สี่เหลี่ยมใหญ่ทั้งสองรูปมีขนาด (a+b)×(a+b) และทั้งสองมีสามเหลี่ยมมุมฉากที่เหมือนกันสี่รูป สิ่งที่เหลือในสี่เหลี่ยมซ้ายคือ c² สิ่งที่เหลือในสี่เหลี่ยมขวาคือ a²+b² ดังนั้นสองค่านี้จึงต้องเท่ากัน
ในสามเหลี่ยมมุมฉากทุกอัน: a^2 + b^2 = c^2 ชาวบาบิโลนรู้ผลนี้เชิงประจักษ์แล้วราว 1800 ปีก่อนคริสตกาล และชาวพีทาโกรัสให้การพิสูจน์ครั้งแรกประมาณ 570 ปีก่อนคริสตกาล มีการพิสูจน์ที่แตกต่างกันมากกว่า 370 แบบ รวมถึงแบบหนึ่งโดยประธานาธิบดีสหรัฐ เจมส์ การ์ฟิลด์ ในปี 1876 คำตอบจำนวนเต็มเรียกว่าสามจำนวนพีทาโกรัส โดยทุกชุดสร้างได้จาก (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2) ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ (พิสูจน์โดยไวลส์ ปี 1995) แสดงว่าไม่มีคำตอบจำนวนเต็มแบบเดียวกันสำหรับเลขชี้กำลังที่มากกว่า 2 ทฤษฎีบทนี้ขยายไปยัง n มิติในรูปสูตรระยะทางแบบยุคลิด.