ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์คือ ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + ⋯ ออยเลอร์ศึกษารูปแบบบนจำนวนจริงและพบว่า ζ(2) = π²/6 (ปัญหาเบเซิล) รวมถึงสูตรผลคูณ ζ(s) = ∏ 1/(1-p⁻ˢ) เมื่อคูณครอบคลุมจำนวนเฉพาะทั้งหมด รีมันน์ขยายฟังก์ชันนี้ไปสู่จำนวนเชิงซ้อนในบทความสำคัญของเขาเมื่อปี 1859.
ตารางค่าของฟังก์ชันซีตาที่จำนวนเต็มคู่
| s | ζ(s) | รูปแบบที่ทราบแน่ชัด |
|---|---|---|
| 2 | 1.64493… | π²/6 |
| 3 | 1.20206… | ยังไม่ทราบ (อาแปรี) |
| 4 | 1.08232… | π⁴/90 |
| 6 | 1.01734… | π⁶/945 |
| -2,-4,… | 0 | ศูนย์เชิงสามัญ |
แก่นความคิดสำคัญของรีมันน์คือ การขยาย ζ(s) ไปยัง s เชิงซ้อนทำให้ศูนย์ไม่เชิงสามัญ (จุดที่ ζ(s) = 0 และ 0 < Re(s) < 1) ควบคุมการกระจายของจำนวนเฉพาะ แต่ละศูนย์ก่อให้เกิดการแกว่งหนึ่งตัวในฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ รีมันน์คาดไว้ในปี 1859 ว่าศูนย์ไม่เชิงสามัญทั้งหมดอยู่บนเส้น Re(s) = 1/2 นี่คือสมมติฐานรีมันน์.
มีการตรวจสอบแล้วว่าศูนย์ไม่เชิงสามัญมากกว่า 10 ล้านล้านจุดอยู่บนเส้น Re(s) = 1/2 ยังไม่เคยพบตัวอย่างโต้แย้งเลย สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์มอบรางวัล 1 ล้านดอลลาร์สำหรับการพิสูจน์ (หรือหักล้าง) หากพิสูจน์ได้ จะให้ขอบเขตที่คมที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ต่อความคลาดเคลื่อนในการกระจายจำนวนเฉพาะ สมมติฐานรีมันน์ยังไม่ถูกพิสูจน์มาแล้ว 165 ปี.
ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์มีสมมาตรดังนี้: ζ(s) = 2^s * π^(s-1) * sin(πs/2) * Γ(1-s) * ζ(1-s). สิ่งนี้ขยาย ซีตา ไปยังจำนวนเชิงซ้อนทุกค่า s (ยกเว้น s = 1) และเชื่อมค่าที่ s เข้ากับค่าที่ 1-s มันแสดงว่าศูนย์ไม่เชิงสามัญมาเป็นคู่: ถ้า s เป็นศูนย์ แล้ว 1-s ก็เป็นศูนย์ด้วย ส่วนศูนย์สามัญที่ s = -2, -4, -6, ... เกิดจากตัวประกอบ sin(πs/2).
ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์คือ ζ(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ... ออยเลอร์หาค่าของมันที่จำนวนเต็มคู่ได้ เช่น ζ(2) = π^2/6 และ ζ(4) = π^4/90 รีมันน์ขยายมันไปยัง s เชิงซ้อนในปี 1859 และคาดว่าศูนย์ไม่เชิงสามัญทั้งหมดอยู่บนเส้น Re(s) = 1/2 สมมติฐานรีมันน์นี้ยังไม่ถูกพิสูจน์หลังผ่านไป 165 ปี และเป็นโจทย์รางวัลมิลเลนเนียมของเคลย์มูลค่า 1 ล้านดอลลาร์ มีการตรวจสอบแล้วว่าศูนย์มากกว่า 10 ล้านล้านจุดอยู่บนเส้นวิกฤต ศูนย์เหล่านี้ควบคุมการกระจายของจำนวนเฉพาะ โดยแต่ละศูนย์ทำให้เกิดการแกว่งหนึ่งตัวในฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ.