√2 คือความยาวเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วย วางสี่เหลี่ยมที่มีด้านยาว 1 ลงบนโต๊ะ ระยะจากมุมหนึ่งไปยังมุมตรงข้ามเท่ากับ √2 พอดี นี่คือทฤษฎีบทพีทาโกรัส: 1² + 1² = (√2)².
ชาวพีทาโกรัสค้นพบราว 500 ปีก่อนคริสตกาลว่า √2 ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วน p/q ที่ p และ q เป็นจำนวนเต็มได้ การพิสูจน์โดยขัดแย้งนั้นงดงาม: สมมติว่า √2 = p/q ในรูปอย่างต่ำ จะได้ 2q² = p² ดังนั้น p² เป็นจำนวนคู่ จึงทำให้ p เป็นจำนวนคู่ เขียน p = 2k แล้ว 2q² = 4k² จึงได้ q² = 2k² ทำให้ q เป็นจำนวนคู่เช่นกัน ขัดแย้งกับการที่ p/q อยู่ในรูปอย่างต่ำ ดังนั้น √2 จึงเป็นจำนวนอตรรกยะ.
ค่าลู่เข้าจากเศษส่วนต่อเนื่อง [1; 2, 2, 2, …] แต่ละเศษส่วนเป็นค่าประมาณเชิงตรรกยะที่ดีที่สุดสำหรับตัวส่วนขนาดนั้น
ตารางคอนเวอร์เจนต์ของรากที่สองของ 2 จากเศษส่วนต่อเนื่อง
| เศษส่วน | ทศนิยม | ค่าคลาดเคลื่อน |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
√2 เป็นจำนวนพีชคณิต (เพราะมันทำให้ x² = 2 เป็นจริง) แต่เป็นจำนวนอตรรกยะ ในตรีโกณมิติ: sin(45°) = cos(45°) = 1/√2 กระดาษชุด A (A4, A3, A2…) ใช้อัตราส่วน 1:√2 เพื่อให้เมื่อพับครึ่งแล้วสัดส่วนยังคงเดิม ค่าที่คำนวณได้เต็มความแม่นยำคือ 1.41421356237309504880168872…
สามเหลี่ยมมุมฉากแต่ละรูปมีด้านหนึ่งเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปก่อนหน้า และอีกด้านเท่ากับ 1 ด้านตรงข้ามมุมฉากจึงเป็น √1, √2, √3, √4, √5… ส่วนใหญ่เป็นจำนวนอตรรกยะ และ √2 (สีแดง) คือค่าตัวแรกที่ชาวพีทาโกรัสพิสูจน์ว่าเป็นอตรรกยะ ราว 500 ปีก่อนคริสตกาล
รากที่สองของ 2 มีค่าประมาณ 1.41421356237309504880 มันเป็นจำนวนแรกที่เคยถูกพิสูจน์ว่าเป็นอตรรกยะ โดยชาวกรีกโบราณราว 500 ปีก่อนคริสตกาล มันเป็นจำนวนพีชคณิตเพราะสอดคล้องกับสมการ x² = 2 มันปรากฏเป็นความยาวเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วย ในการตั้งเสียงดนตรีแบบเท่าเทียม (แต่ละเซมิโทนคูณความถี่ด้วยรากที่ 12 ของ 2) ในสัดส่วนกระดาษชุด A (พับ A4 จะได้ A5 โดยมีสัดส่วนเดิม) และในทฤษฎีบทพีทาโกรัสเมื่อด้านประกอบมุมฉากยาวเท่ากัน.
รากที่สองของ 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the เศษส่วนต่อเนื่อง.