สูตรประมาณของสเตอร์ลิงบอกว่า เมื่อ n มีค่ามาก n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ การที่ทั้ง π และ e ปรากฏในสูตรเกี่ยวกับการนับการเรียงสับเปลี่ยนเป็นเรื่องที่น่าทึ่ง สำหรับ n = 10 ความคลาดเคลื่อนต่ำกว่า 1% และสำหรับ n = 100 ต่ำกว่า 0.1% สูตรนี้แม่นยำขึ้นเรื่อย ๆ โดยไม่มีขีดจำกัดเมื่อ n เพิ่มขึ้น.
ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ |n! − สเตอร์ลิง(n)| / n! ต่ำกว่า 1% เมื่อ n = 8 และต่ำกว่า 0.1% เมื่อ n = 80 สำหรับ n มาก ๆ สูตรของสเตอร์ลิงแทบจะแม่นยำพอดี
อับราฮัม เดอ มัวร์ พบในปี 1730 ว่า n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ สำหรับค่าคงที่บางตัว C ต่อมา เจมส์ สเตอร์ลิง ระบุได้ในปีเดียวกันว่า C = √(2π) ค่า √(2π) เกิดจากอินทิกรัลเกาส์เซียน: เมื่อหาสูตรของสเตอร์ลิงผ่านฟังก์ชันแกมมา อินทิกรัล ∫e^(-t²)dt = √π จะปรากฏขึ้น และนำ π เข้ามาอยู่ในสูตร.
รูปลอการิทึมถูกใช้ทั่วทั้งฟิสิกส์: ในกลศาสตร์สถิติ สูตรเอนโทรปีของโบลทซ์มันน์ S = k·ln(W) ต้องใช้ ln(N!) สำหรับ N ขนาดมหาศาล (ระดับโมลของอนุภาค) สูตรของสเตอร์ลิงให้ ln(N!) ≈ N·ln(N) - N ทำให้จัดการได้ อนุกรมอะซิมป์โทติกเต็มยังเพิ่มพจน์แก้ไขเข้าไป: n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) - 1/(360n³) + ⋯)
บนสเกลลอการิทึม n! และสูตรประมาณของสเตอร์ลิงแทบแยกไม่ออกด้วยสายตา ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์เข้าใกล้ 0 เมื่อ n โตขึ้น