อนุกรมเทย์เลอร์แสดงฟังก์ชันเรียบใด ๆ เป็นพหุนามอนันต์ สัมประสิทธิ์แต่ละตัวคืออนุพันธ์: พจน์ลำดับที่ n คือ f⁽ⁿ⁾(a)/n! คูณด้วย (x-a)ⁿ สำหรับฟังก์ชันที่มีพฤติกรรมดี เช่น eˣ, sin(x) และ cos(x) อนุกรมจะลู่เข้าสู่ค่าฟังก์ชันที่แท้จริงได้ทุกที่.
แต่ละพจน์ที่เพิ่มเข้ามาจะขยายช่วงที่การประมาณใช้ได้ไกลขึ้น เมื่อเพิ่มพจน์มากขึ้น: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
อนุกรมแม็กลอรินที่สำคัญที่สุดสามชุดคือ eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ (ลู่เข้าทุกที่); sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯ (ลู่เข้าทุกที่); cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ⋯ (ลู่เข้าทุกที่) การแทน x = iπ ลงในอนุกรม eˣ จะให้เอกลักษณ์ของออยเลอร์.
ตารางของอนุกรมแม็คลอริน
| f(x) | อนุกรม | รัศมีการลู่เข้า |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x ³+⋯ | |x|<1 |
บรูค เทย์เลอร์เสนอทฤษฎีบททั่วไปในปี 1715 ส่วนกรณีพิเศษที่มีศูนย์กลางที่ 0 ได้รับความนิยมโดยโคลิน แม็กลอรินในปี 1742 เครื่องคิดเลขและคอมพิวเตอร์ทุกเครื่องใช้อนุกรมเทย์เลอร์เพื่อคำนวณฟังก์ชันทรานเซนเดนทัล ความคลาดเคลื่อนหลังใช้ n พจน์ถูกครอบด้วยเศษเหลือแบบลากร็องฌ์: |f(x) - Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x-a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … แต่ละคู่ของพจน์ให้ลำดับความแม่นยำที่สูงขึ้นอีกหนึ่งขั้น
อนุกรมเทย์เลอร์แทนฟังก์ชันเรียบด้วยพหุนามอนันต์: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... สัมประสิทธิ์คืออนุพันธ์ที่จุดศูนย์กลาง a อนุกรมแม็กลอรินคือกรณีที่มีศูนย์กลางที่ 0 อนุกรมสำคัญสามชุดลู่เข้าทุกที่: e^x = 1 + x + x^2/2! + ..., sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ..., cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... การแทน x = i*pi ลงในอนุกรม e^x พิสูจน์เอกลักษณ์ของออยเลอร์ เครื่องคิดเลขทุกเครื่องใช้อนุกรมเทย์เลอร์ภายในเพื่อคำนวณฟังก์ชันทรานเซนเดนทัล.