จำนวนหนึ่งจะเป็นจำนวนทรานเซนเดนทัล ถ้ามันไม่เป็นรากของสมการพหุนามใด ๆ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม π ไม่เป็นคำตอบของสมการอย่าง x^2 - 3x + 1 = 0 และ e ก็ไม่เป็นเช่นกัน จำนวนเหล่านี้อยู่นอกขอบเขตของพีชคณิต แม้ชื่อที่ยกตัวอย่างได้จะมีไม่มาก แต่จำนวนทรานเซนเดนทัลกลับเป็นกฎมากกว่าข้อยกเว้น: จำนวนจริงแทบทุกจำนวนเป็นทรานเซนเดนทัล.
จำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นจำนวนพีชคณิต และจำนวนพีชคณิตทุกจำนวนเป็นจำนวนจริง แต่จำนวนทรานเซนเดนทัลซึ่งอยู่นอกวงของจำนวนพีชคณิตนั้น มีจำนวนมากกว่าจำนวนพีชคณิตทั้งหมดรวมกันอย่างมหาศาล.
จากการสร้างตัวอย่างแบบจงใจของลิอูวิลล์ในปี 1844 ไปจนถึงทฤษฎีบทเกลฟอนด์-ชไนเดอร์ในปี 1934 ทฤษฎีจำนวนทรานเซนเดนทัลเติบโตจากเรื่องชวนสงสัยไปสู่สาขาสำคัญของทฤษฎีจำนวน.
ตารางเปรียบเทียบจำนวนพีชคณิตที่มีพหุนามต่ำสุด กับจำนวนทรานเซนเดนทัลที่ไม่มีพหุนามเช่นนั้น
| จำนวน | พหุนามต่ำสุด |
|---|---|
| √2 = 1.41421... | x^2 - 2 = 0 |
| φ = 1.61803... | x^2 - x - 1 = 0 |
| ∛5 = 1.70997... | x^3 - 5 = 0 |
| i = √(-1) | x^2 + 1 = 0 |
| π = 3.14159... | ไม่มีพหุนามเช่นนั้น |
| e = 2.71828... | ไม่มีพหุนามเช่นนั้น |
| e^π = 23.1406... | ไม่มีพหุนามเช่นนั้น |
จำนวนหนึ่งเป็นจำนวนทรานเซนเดนทัล ถ้ามันไม่เป็นคำตอบของสมการพหุนามใด ๆ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ลิอูวิลล์ให้ตัวอย่างชัดเจนตัวแรกในปี 1844 แอร์มีตพิสูจน์ว่า e เป็นจำนวนทรานเซนเดนทัลในปี 1873 และลินเดอมันน์พิสูจน์ว่า π เป็นจำนวนทรานเซนเดนทัลในปี 1882 จึงยุติปัญหาโบราณเรื่องการสร้างสี่เหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่าวงกลมด้วยวงเวียนและไม้บรรทัดว่าเป็นไปไม่ได้ ทฤษฎีบทเกลฟอนด์-ชไนเดอร์ (1934) แสดงว่า a^b เป็นจำนวนทรานเซนเดนทัลเมื่อ a เป็นจำนวนพีชคณิตที่ไม่ใช่ 0 หรือ 1 และ b เป็นจำนวนพีชคณิตที่ไม่เป็นตรรกยะ เช่น 2^√2 หรือ e^π จำนวนจริงแทบทุกจำนวนเป็นทรานเซนเดนทัล แต่การยกตัวอย่างที่พิสูจน์ได้อย่างชัดเจนนั้นยากอย่างยิ่ง.