ζ(3) — це значення дзета-функції Рімана в точці 3: сума 1/n³ за всіма додатними цілими n. Для парних аргументів Ейлер знайшов красиві замкнені форми: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945. Для непарних аргументів такої формули немає. Чи входить π у вираз для ζ(3) взагалі — невідомо.
ζ(3) лежить між двома значеннями з відомими замкненими формами, що містять π. Чи можна виразити ζ(3) через π, досі невідомо.
У 1978 році Роже Апері оголосив доведення того, що ζ(3) є ірраціональною. Аудиторія поставилася скептично. Анрі Коен та інші математики кинулися додому, щоб за ніч перевірити доказ на комп’ютерах. До ранку вони підтвердили, що він правильний. «Це було як грім серед ясного неба», — сказав один із присутніх. Апері було 64 роки.
Часткові суми 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64... наближаються до ζ(3) ≈ 1.20206 знизу. Збіжність повільна: навіть при n=50 сума все ще відстає приблизн о на 0.003.
Чи можна виразити ζ(3) через π — це видатна відкрита проблема. Усі парні значення дзета-функції є раціональними кратними відповідного степеня π. Непарні значення, схоже, живуть в іншому світі. Відомо, що нескінченно багато непарних значень ζ(2n+1) є ірраціональними (Рівоаль, 2000), але точна картина залишається загадковою. Повне значення: 1.20205690315959428539973816151144999…
ζ(2k) = раціональне число × π^(2k) для всіх парних k. Ейлер довів це для всіх парних значень. Але ζ(3), ζ(5), ζ(7)... зовсім інші. ζ(3) є ірраціональним (Апері), але жодного зв’язку з π не відомо. Воно може бути справді незалежним від π.
Таблиця: для парних цілих дзета-функція має відомі π-формули, для непарних — ні
| Парні s: точні формули | Непарні s: таємниця |
|---|---|
| ζ(2) = π²/6 | ζ(3) = 1.20206... |
| ζ(4) = π⁴/90 | ірраціональне (Апері, 1978) |
| ζ(6) = π⁶/945 | ζ(5) = 1.03693... |
| ζ(8) = π⁸/9450 | ірраціональне? невідомо |
| Усі = раціональне × π^s | Зв’язок із π невідомий |
Невідомо. Роже Апері довів у 1978 році, що ζ(3) є ірраціональним, але питання, чи є воно трансцендентним, залишається відкритим. Широко вважають, що воно трансцендентне, але доказу не існує.
У квантовій електродинаміці (поправки до магнітного моменту електрона), теорії випадкових матриць та ентропії двовимірної моделі Ізінга. Воно також з’являється в розподілах Фермі — Дірака та Бозе — Ейнштейна у статистичній механіці.
Рамануджан знайшов швидкозбіжні ряди для ζ(3), зокрема формулу з 7π³/180 і сумами за експонентами. У його записниках були десятки тотожностей, пов’язаних із ζ(3), більшість із яких довели лише через десятиліття після його смерті.
Цілі числа A(n) = сума C(n,k)^2 C(n+k,k)^2 за всіма k, які з’являються в доведенні ірраціональності Апері. Перші кілька: 1, 5, 73, 1445, 33001. Вони задовольняють рекурентне співвідношення і ростуть так, що змушують знаменники часткових сум 1/n^3 скорочувати певні множники, роблячи границю ірраціональною.
Стала Апері ζ(3) — це сума 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... = 1.20205690315959. Для парних значень s Ейлер знайшов замкнені форми з π: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90. Для непарних значень такої формули не відомо. Роже Апері довів, що ζ(3) є ірраціональним, у 1978 році у віці 64 років. Чи є воно трансцендентним або виразним через π, досі невідомо.