Базельська проблема запитує: яке точне значення суми 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ⋯? Ряд збігається, але до чого? П’єтро Менголі сформулював цю задачу у 1650 році. Вона ставила в глухий кут кожного математика 84 роки, доки Ейлер не розв’язав її у 1734 році у віці 28 років.
Часткові суми повільно наближаються до π²/6 ≈ 1.6449. У 1734 році Ейлер довів, що границя дорівнює π²/6, поєднавши аналіз із геометрією.
У доведенні Ейлер розклав ряд Тейлора для sin(x)/x в нескінченний добуток за його коренями ±π, ±2π, ±3π… Порівняння коефіцієнта при x² у добутковій формі з коефіцієнтом ряду Тейлора безпосередньо дає Σ 1/n² = π²/6. Це один із найвідоміших обчислювальних результатів у математиці, і причина появи π тут не випадкова: кола й сфери природно пов’язані з цілими сумами через дзета-функцію Рімана.
Кожний член 1/n² швидко зменшується. Їхня сума збігається точно до π²/6 ≈ 1.6449.
Результат узагальнюється: ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945, і всі парні значення дзета-функції є раціональними кратними степенів π. Непарні значення ζ(3), ζ(5), ζ(7)… набагато загадковіші. Апері довів, що ζ(3) є ірраціональним, у 1978 році, але замкненої форми через π не відомо.
Ймовірність того, що два випадково вибрані цілі числа не мають спільного дільника (є взаємно простими), точно дорівнює 6/π², тобто оберненому значенню до π²/6. Це приблизно 60.8%. Так Базельська проблема безпосередньо поєднується з теорією чисел і ймовірністю.