Комплексне число має дві частини: дійсну та уявну. Уявна одиниця i задовольняє i² = −1. Кожне дійсне число є комплексним із b = 0. Комплексні числа заповнюють двовимірну площину, а не одновимірну пряму, і тому кожне поліноміальне рівняння має рівно стільки коренів, скільки становить його степінь.
Множення на i — це поворот на 90° проти годинникової стрілки. Множення на i двічі, тобто на i², дає поворот на 180°, який переводить 1 у −1. Отже, i² = −1 — не алгебраїчний фокус. Це поворот.
Над дійсними числами x²+1=0 не має розв’язку. Над комплексними числами воно має два: i та -i. Основна теорема алгебри каже: якщо перейти до комплексних чисел, то кожний многочлен степеня n має рівно n коренів.
Таблиця многочленів над дійсними та комплексними числами, що показує: кожний многочлен степеня n має рівно n комплексних коренів
| МНОГОЧЛЕН | ДІЙСНІ КОРЕНІ | КОМПЛЕКСНІ |
|---|---|---|
| x - 3 = 0 | 1 (x=3) | 1 |
| x² - 4 = 0 | 2 (±2) | 2 |
| x² + 1 = 0 | 0 дійсних коренів | 2 (±i) |
| x³ - 1 = 0 | 1 дійсний корінь | 3 |
| x⁴ + 4 = 0 | 0 дійсних коренів | 4 |
| Кожний многочлен степеня n має рівно n комплексних коренів (з урахуванням кратності) |
Комплексні числа розширюють дійсну пряму до двовимірної площини, вводячи i, де i² = −1. Кожне комплексне число z = a + bi має дійсну частину a, уявну частину b, модуль |z| = √(a² + b²) та аргумент arg(z) = arctan(b/a). Множення на e^(iθ) обертає число на кут θ радіанів. Основна теорема алгебри стверджує, що кожний многочлен степеня n має рівно n комплексних коренів з урахуванням кратності. Комплексні числа лежать в основі квантової механіки, обробки сигналів і тотожності Ейлера.