Неперервний дріб подає число як цілу частину плюс обернене до ще одного неперервного дробу. Кожне дійсне число має єдиний розклад у неперервний дріб. Раціональні числа закінчуються; квадратичні ірраціональності повторюються періодично; трансцендентні числа, як-от π, не мають жодного візерунка. Підходящі дроби (раціональні наближення, утворені обрізанням розкладу) доведено є найкращими наближеннями серед усіх дробів із знаменником такого розміру.
Таблиця порівняння неперервних дробів для φ, √2, e та π: які з них періодичні, а які нерегулярні
| КОНСТАНТА | ЗАПИС НД | ТИП |
|---|---|---|
| φ | [1; 1, 1, 1, 1, ...] | періодичний |
| √2 | [1; 2, 2, 2, 2, ...] | періодичний |
| √3 | [1; 1, 2, 1, 2, ...] | періодичний |
| e | [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6...] | візерунок |
| π | [3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] | без простого візерунка |
| Теорема: НД є періодичним тоді й лише тоді, коли число — квадратична ірраціональність (Лагранж, 1770) | ||
| φ — «найважче» для наближення: його НД з усіх одиниць дає найгіршу можливу збіжність |
Таблиця підходящих дробів для π, що дають дедалі точніші наближення з малими знаменниками
| ПІДХОДЯЩИЙ ДРІБ | ДЕСЯТКОВИЙ ЗАПИС | ПОХИБКА |
|---|---|---|
| 3/1 | 3.000000 | 0.14159 |
| 22/7 | 3.142857 | 0.00126 |
| 333/106 | 3.141509 | 0.000083 |
| 355/113 | 3.141592… | 0.0000003 |
| 103993/33102 | 3.14159265… | 2.7e−10 |
| 355/113 дає правильні 6 десяткових знаків лише з трицифровим знаменником |
Підходящі дроби 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102 чергуються вище й нижче за π. Кожний із них є найкращим раціональним наближенням для свого знаменника або меншого.
Кожне дійсне число має єдиний розклад у неперервний дріб. Раціональні числа мають скінченні розклади. Квадратичні ірраціональності (як-от √2 і φ) мають зрештою періодичні розклади. Трансцендентні числа, як-от π, не мають жодного візерунка. Підходящі дроби неперервного дробу є найкращими раціональними наближеннями: 22/7 і 355/113 — це підходящі дроби для π, які збігаються з ним до 2 та 6 десяткових знаків відповідно. φ = [1; 1, 1, 1, ...] є числом, яке найважче наближати дробами, що робить його «найірраціональнішим» у точному сенсі.