Теорема де Муавра каже, що піднесення точки на одиничному колі до n-го степеня просто множить її кут на n. Якщо почати з кута θ, то квадрат дає кут 2θ, куб — 3θ, і так далі. Саме це робить комплексні степені та корені геометрично прозорими.
Починаємо з кута θ=40° на одиничному колі. Піднесення до квадрата подвоює кут до 80° (зелений). Піднесення до куба потроює його до 120° (червоний). Точка лише обертається: її відстань до початку координат лишається 1.
Теорема миттєво випливає з формули Ейлера e^(iθ) = cosθ + i sinθ. Підносячи обидві частини до степеня n, отримуємо (e^(iθ))ⁿ = e^(inθ) = cos(nθ) + i sin(nθ). Де Муавр сформулював свій результат у 1707 році, за 41 рік до того, як Ейлер опублікував формулу, тому доказ здається радше магією, ніж механікою.
Шості корені з одиниці утворюють правильний шестикутник на одиничному колі. n-ті корені рівняння z^n = 1 завжди утворюють правильний n-кутник із рівними кутами 2πk/n = τk/n.
Теорема де Муавра — ключовий інструмент для обчислення степенів і коренів комплексних чисел, виведення формул кратних кутів (cos 3θ = 4cos³θ − 3cosθ) і знаходження n рівновіддалених n-х коренів будь-якого комплексного числа. Вона поєднує алгебру комплексних чисел із геометрією повороту.
Коли ви множите два комплексні числа, їхні кути додаються, а модулі перемножуються. Якщо обидва числа лежать на одиничному колі, змінюється лише кут. Повторне множення n разів додає кут n разів — саме це й стверджує теорема де Муавра.
Теорема де Муавра показує, що cos(nθ) завжди можна записати як многочлен від cos(θ). Це поліноми Чебишова T_n: T_n(cos θ) = cos(nθ). Наприклад, cos(2θ) = 2cos²(θ) − 1, отже T_2(x) = 2x² − 1. Вони з’являються в чисельному аналізі, проєктуванні фільтрів і теорії наближень.