e — це єдине число, для якого функція eˣ дорівнює власній похідній. Візьміть будь-яку величину й дозвольте їй зростати неперервно зі швидкістю 100% на рік. Рівно через один рік ви матимете e разів більше, ніж на початку. Жодна інша основа не має цієї самоподібної властивості.
Коли n зростає, послідовність наближається до e знизу, збігаючись до 2.71828182845904…
Таблиця збіжності (1+1/n)^n до e
| n | (1 + 1/n)ⁿ | відстань до e |
|---|---|---|
| 1 | 2.000000 | 0.71828 |
| 10 | 2.593742 | 0.12454 |
| 100 | 2.704814 | 0.01347 |
| 1 000 | 2.716924 | 0.00136 |
| 1 000 000 | 2.718281 | 0.0000014 |
| ∞ | 2.71828… | 0 |
Інтерпретація через складні відсотки: якщо банк платить 100% річних, але нараховує їх n разів на рік, ваш баланс зростає як (1 + 1/n)ⁿ. При щомісячному нарахуванні це 2.613. При нарахуванні щосекунди — 2.718. При неперервному нарахуванні виходить точно e.
При x=1 висота кривої дорівнює e ≈ 2.718, і нахил дотичної також дорівнює e. Жодна інша основа b^x не має цієї властивості.
Якоб Бернуллі відкрив e у 1683 році, вивчаючи складні відсотки. Ейлер позначив це число літерою e у 1731 році. Воно ірраціональне (Ейлер, 1737) і трансцендентне (Ерміт, 1873). Його десятковий запис 2.71828182845904523536… ніколи не повторюється.
Якщо почати з 1 долара під 100% річних: щомісячне нарахування дає 2.613, щоденне — 2.714, щосекундне — 2.718. Границя при n→∞ дорівнює точно e.
e (число Ейлера) приблизно дорівнює 2.71828182845904523536. Це єдине число, для якого функція e^x у кожній точці дорівнює власній похідній. Якоб Бернуллі відкрив його у 1683 році, вивчаючи складні відсотки. Леонард Ейлер позначив його літерою e приблизно у 1731 році. e є ірраціональним (Ейлер, 1737) і трансцендентним (Ерміт, 1873). Воно з’являється в неперервному зростанні й спаданні, натуральних логарифмах, нормальному розподілі, складних відсотках, радіоактивному розпаді та в тотожності Ейлера e^(iπ) + 1 = 0.
Число Ейлера e is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the ряд тейлора.