Euler's identity follows from Euler's formula: eix = cos(x) + i·sin(x). Setting x = π gives eiπ = cos(π) + i·sin(π) = −1, so eiπ + 1 = 0.
eiθ traces the unit circle. Rotating by π lands at −1. Add 1, get 0.
It connects arithmetic (0 and 1), algebra (i), geometry (π), and analysis (e) — four different branches of mathematics — in a single equation of stunning simplicity. Richard Feynman called it "the most remarkable formula in mathematics."
Leonhard Euler (1707–1783) published the formula eix = cos(x) + i·sin(x) in his Introductio in analysin infinitorum (1748). The identity is the special case at x = π. Euler introduced or popularised the notation e, i, f(x), Σ, and π.
У ряді Тейлора для eˣ дійсні члени групуються в cos(π), а уявні — в i·sin(π). Оскільки cos(π) = −1 і sin(π) = 0, маємо e^(iπ) = −1, отже e^(iπ) + 1 = 0.
Формула e^(iθ) описує одиничне коло на комплексній площині, коли θ зростає. e^(iπ) — це обертання рівно на π радіанів (180 градусів) від 1 до -1. Додавання 1 повертає вас до 0. Саме тому e^(iπ) + 1 = 0: це півоберт комплексної площини, записаний як рівняння.
e^(iθ) — оператор обертання. При θ=π ви робите рівно півкола. Точка 1 на дійсній осі переходить у -1. Додавши 1 до обох частин, отримуємо e^(iπ) + 1 = 0.
Тотожність Ейлера e^(iπ) + 1 = 0 об’єднує п’ять найважливіших констант математики: e (основа натуральних логарифмів), i (уявна одиниця), π (стала кола), 1 (мультиплікативна одиниця) та 0 (адитивна одиниця). Вона безпосередньо випливає з формули Ейлера e^(iθ) = cos(θ) + i*sin(θ) при θ = π. Оскільки cos(π) = -1 і sin(π) = 0, отримуємо e^(iπ) = -1. Уперше опублікована Ейлером близько 1748 року. У багатьох опитуваннях її називали найкрасивішим рівнянням математики.