Теорема про чотири фарби стверджує, що будь-яку карту, намальовану на площині, можна розфарбувати не більше ніж чотирма кольорами так, щоб жодні дві області зі спільним кордоном не мали однакового кольору. Дві області, що торкаються лише в одній точці, можуть мати той самий колір. Теорема застосовується до будь-якої карти, якою б складною вона не була.
Області 1, 2, 3, 4 межують із кількома іншими. Ліва і права області, позначені 4, не мають спільного кордону, тож можуть мати один колір. Тут справді потрібно рівно чотири кольори.
Френсіс Гатрі висунув цю гіпотезу у 1852 році, розфарбовуючи карту англійських графств. Він помітив, що чотирьох кольорів, здається, завжди достатньо, але не зміг це довести. Проблема ставила математиків у глухий кут 124 роки. Було опубліковано й спростовано багато хибних доведень. П’яти кольорів завжди достатньо, і це можна довести вручну за допомогою формули Ейлера для плоских графів.
Від гіпотези до доведення минуло 124 роки. Доведення 1976 року стало першою великою теоремою, перевіреною комп’ютером.
Доведення 1976 року Кеннета Аппеля та Вольфганга Хакена стало першим великим доведенням теореми за допомогою комп’ютера. Воно звело всі можливі карти до 1,936 конфігурацій і змусило комп’ютер перевіряти кожну з них понад 1,200 годин процесорного часу. Багатьом математикам було некомфортно з доведенням, яке неможливо перевірити вручну. Людинозрозуміле доведення, якщо воно взагалі існує, досі не знайдене.
П’ять зовнішніх областей (непарне число) примушують кільце використати 3 кольори: двокольорове розфарбування 5-циклу неможливе. Центральна область прилягає до всіх п’яти, торкаючись усіх трьох кольорів кільця, тож їй потрібен четвертий колір. Це показує, що чотири кольори інколи справді необхідні.
Будь-яку карту, намальовану на плоскій поверхні, можна розфарбувати не більш як чотирма кольорами так, щоб жодні дві області зі спільним кордоном не мали однакового кольору. Гіпотезу висунув Френсіс Гатрі у 1852 році. Її довели Аппель і Хакен у 1976 році, використавши комп’ютер для перевірки 1,936 конфігурацій, що зробило її першою великою теоремою, доведеною з комп’ютерною допомогою. Коротша перевірка Робертсона, Сандерса, Сеймура і Томаса у 1997 році скоротила це число до 633 конфігурацій. На торі теорема не виконується: там може знадобитися сім кольорів.