Основна теорема аналізу пов’язує дві, на перший погляд, окремі ідеї. Частина 1: якщо інтегрувати функцію від фіксованої точки до x, то похідна цього інтеграла дорівнює початковій функції. Частина 2: визначений інтеграл функції f від a до b дорівнює значенню будь-якої первісної F у точці b мінус її значення в точці a.
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3 ≈ 2.667. Первісна F(x) = x³/3 дає точну площу без жодного наближення.
До цієї теореми обчислення площ вимагало сум Рімана: треба було розбити область на тонкі прямокутники, підсумувати їх усі й перейти до границі. Основна теорема аналізу замінює все це одним відніманням. Ньютон зрозумів це до 1666 року, а Лейбніц — незалежно до 1675-го. Їхня суперечка про першість розколола європейську та британську математику на ціле покоління.
Кожний інтеграл, якого навчають на курсах математичного аналізу, використовує Частину 2: знайти первісну, обчислити її на кінцях відрізка, відняти. Це працює тому, що диференціювання та інтегрування є точними оберненими операціями. Це один із найглибших і найкорисніших результатів у всій математиці.
Сума Рімана з 8 прямокутниками дає ≈ 0.273. Точна відповідь дорівнює 8/3 ≈ 2.667. Основна теорема аналізу дає точний результат без жодних прямокутників.
Робота, виконана змінною силою F(x) під час переміщення від a до b, дорівнює W = інтеграл від a до b від F(x) dx = P(b) - P(a), де P — функція потенціальної енергії, що задовольняє P' = -F. Швидкість інтегрується в переміщення; сила інтегрується в імпульс. Саме основна теорема аналізу робить ці обчислення здійсненними без потреби в нескінченних сумах Рімана.