Гармонічний ряд 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ розбігається, але зростає неймовірно повільно. Після мільйона членів він ледве досягає 14. Натуральний логарифм ln(n) зростає з тією самою швидкістю. Стала Ейлера—Маскероні γ — це точний розрив між ними: γ = lim (1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ + 1/n) - ln(n).
Різниця між гармонічною сумою та ln(n) наближається до γ ≈ 0.5772 при n → ∞. Збіжність дуже повільна: навіть при n = 1000 розрив ще близько 0.001.
γ з’являється всюди в аналізі та теорії чисел. Вона пов’язує гармонічний ряд із дзета-функцією Рімана: у формальному сенсі γ = -ζ'(1). Вона з’являється в гамма-функції Γ'(1) = -γ, у розподілі прогалин між простими числами, у функціях Бесселя та в асимптотичному розкладі дигамма-функції.
Чи є γ раціональним чи ірраціональним, — одна з найдавніших відкритих проблем у математиці. Майже кожен математик вважає, що воно трансцендентне, але доведення не існує. Його обчислено більш ніж до 600 мільярдів десяткових знаків: 0.57721566490153286060651209008240243…
Часткові суми гармонічного ряду H(n) (червона сходинка) порівняно з ln(n)+γ (синя гладка крива). Різниця між ними прямує до нуля, а H(n)−ln(n) → γ.
Стала Ейлера—Маскероні γ приблизно дорівнює 0.57721566490153286060. Чи є вона раціональною або ірраціональною, невідомо — це одна з найвідоміших відкритих проблем математики. Ейлер уперше опублікував її у 1734 році; Маскероні обчислив її незалежно у 1790-му. γ з’являється в гамма-функції, дзета-функції Рімана, теоремі Мертенса про добутки простих, функціях Бесселя та розподілі прогалин між простими числами. Оскільки потокового алгоритму для неї не існує, її цифри попередньо обчислюють і зберігають.
Стала Ейлера—Маскероні γ is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the границя гармонічного ряду.