Функція e^(−x²) є дзвоноподібною кривою: вона досягає 1 при x = 0 і симетрично спадає до 0 в обидва боки. Площа під нею на всій дійсній прямій дорівнює точно √π ≈ 1.7724. Це вражає: e і π, які зазвичай з’являються в різних контекстах, поєднуються в найпростішому інтегралі теорії ймовірностей.
Інтеграл e^(−x²) за всіма x дорівнює √π ≈ 1.7725. Це і є гаусовий інтеграл. Поділивши його на √(2π), отримуємо нормувальний множник стандартного нормального розподілу.
Доведення — один із найелегантніших прийомів математики. Нехай I = ∫e^(−x²)dx. Обчислимо I², записавши його як подвійний інтеграл за x та y, а потім перейдемо до полярних координат r, θ. Підінтегральна функція стане e^(−r²), а елемент площі — r·dr·dθ. Множник r робить інтеграл елементарним: ∫₀^∞ re^(−r²)dr = 1/2. Помноживши на ∫₀^(2π) dθ = 2π, отримуємо I² = π, отже I = √π.
Нормальний розподіл, центральна гранична теорема, квантові хвильові функції (які використовують гаусові хвильові пакети) та наближення Стірлінга для факторіалів — усе це спирається на цей єдиний інтеграл. Значення √π з’являється скрізь, де інтегрується e^(−x²), а це, як виявляється, майже всюди в неперервній теорії ймовірностей.
Гаусовий інтеграл — це інтеграл ∫₋∞^∞ e^(−x²) dx, і він дорівнює √π. Елегантне доведення підносить інтеграл до квадрата, переходить до полярних координат і обчислює його точно. Це ключове обчислення, що стоїть за нормальним розподілом: густина ймовірності (1/√(2π))·e^(−x²/2) інтегрується до 1. Гаусова функція з’являється в квантовій механіці, теплопровідності, наближенні Стірлінга та центральній граничній теоремі.