Стала Гельфонда — це число e у степені π. Його наближене значення дорівнює 23.14069263277927… Довести його трансцендентність було сьомою проблемою Гільберта, сформульованою у 1900 році серед 23 найвідоміших задач. Гельфонд розв’язав її у 1934 році. Число часто називають найкрасивішою трансцендентною константою після e і π.
e^π спокусливо близьке до 23, але не дорівнює йому: різниця близько 0.14. Збіг e^π − π ≈ 19.999 ще ближчий, але так само не має глибшого значення.
Теорема Гельфонда—Шнайдера (1934) стверджує: якщо a — алгебраїчне число, відмінне від 0 і 1, а b — алгебраїчне й ірраціональне, тоді a^b є трансцендентним. Стала Гельфонда e^π = (e^(iπ))^(−i) = (−1)^(−i). Тут a = −1 (алгебраїчне), а b = −i (алгебраїчне й ірраціональне). Теорема застосовується безпосередньо.
Таблиця прикладів чисел, трансцендентність яких доводить теорема Гельфонда—Шнайдера
| Вираз | a | b | Результат |
|---|---|---|---|
| e^π = (-1)^(-i) | -1 | -i | трансцендентне |
| 2^√2 (Гільберт) | 2 | √2 | трансцендентне |
| √2^√2 | √2 | √2 | трансцендентне |
Числова майже-рівність e^π − π ≈ 19.9990999 не має жодного відомого математичного пояснення. Найімовірніше, це збіг, але подібні збіги (як-от стала Рамануджана) іноді виявляються глибоко змістовними. e^π обчислено до мільйонів знаків після коми: 23.14069263277926900572908636794854738…
e^π > π^e. Це можна довести без калькулятора: функція x^(1/x) має максимум при x=e, тож e^(1/e) > π^(1/π), а звідси e^π > π^e.
Стала Гельфонда e^π ≈ 23.14069. Доведення її трансцендентності було сьомою проблемою Гільберта (1900). Гельфонд розв’язав її у 1934 році: якщо a — алгебраїчне число (не 0 і не 1), а b — алгебраїчне та ірраціональне, тоді a^b є трансцендентним. Оскільки e^π = (-1)^(-i), а -1 і -i — алгебраїчні, причому -i ірраціональне, теорема застосовується. Майже-збіг e^π - π ≈ 19.999 не має жодного відомого математичного пояснення.