Гармонічний ряд — це сума всіх одиничних дробів. Кожний доданок 1/n прямує до нуля, і це може наводити на думку, що сума збігається, але це не так. Доведення використовує групування: 1/3+1/4 > 1/2, потім 1/5+1/6+1/7+1/8 > 1/2, і кожна така група додає щонайменше 1/2, тому сума перевищує будь-яку межу. Водночас ряд розбігається надзвичайно повільно: щоб часткова сума досягла 100, потрібно більше доданків, ніж атомів у спостережуваному Всесвіті.
H(n) і ln(n) зростають разом, завжди відрізняючись приблизно на γ ≈ 0.5772. Обидві величини розбігаються: щоб досягти H(n) = 100, потрібно близько 10^43 доданків.
Щоб досягти H(n)=100, потрібно приблизно 10^43 доданків. Це більше, ніж атомів у спостережуваному Всесвіті.
Гармонічний ряд 1 + 1/2 + 1/3 + ... розбігається; це довів Ніколя Орем приблизно 1350 року. Попри те що кожний доданок прямує до нуля, сума перевищує будь-яку межу. Часткові суми зростають як ln(n) + γ, де γ ≈ 0.5772 — стала Ейлера–Маскероні. Після мільйона доданків сума становить лише близько 14. Щоб досягти 100, потрібно понад 10^43 доданків. Знакозмінний ряд 1 - 1/2 + 1/3 - ... збігається до ln 2.