Число є ірраціональним, якщо його не можна подати як дріб p/q, де p і q — цілі числа. Його десятковий запис ніколи не закінчується й ніколи не починає повторюватися. √2, π, e та φ — усі ірраціональні. Це не винятки, а цілий океан чисел.
Синім — раціональні числа (точні дроби). Червоним — ірраціональні числа (неперіодичні нескінченні десяткові записи). Між будь-якими двома раціональними лежить ірраціональне, і навпаки.
Порівняльна таблиця раціональних чисел із кінцевими або періодичними десятковими записами та ірраціональних чисел із нескінченними неперіодичними записами
| РАЦІОНАЛЬНЕ: закінчується або повторюється | ІРРАЦІОНАЛЬНЕ: ніколи не повторюється |
|---|---|
| 1/4 = 0.25000... | √2 = 1.4142135... |
| закінчується | без візе рунка, ніколи |
| 1/3 = 0.3333... | pi = 3.1415926... |
| повторюваний блок: {3} | без візерунка, ніколи |
| 22/7 = 3.142857... | e = 2.7182818... |
| повторюваний блок: {142857} | без візерунка, ніколи |
| 5/11 = 0.454545... | phi = 1.6180339... |
| повторюваний блок: {45} | без візерунка, ніколи |
Раціональні числа, хоч і нескінченні, можна перелічити — вони зліченні. Ірраціональні перелічити не можна. Якщо навмання вибрати дійсне число, ймовірність того, що воно раціональне, дорівнює нулю.
Число є ірраціональним, якщо його не можна записати як дріб p/q з цілими числами p і q. Його десятковий запис ніколи не закінчується і ніколи не стає періодичним. Піфагорійці довели ірраціональність √2 близько 500 року до н. е. — це було шокуючим відкриттям для свого часу. Ірраціональність π довів Ламберт у 1761 році, а e — Ейлер у 1737-му. Більшість дійсних чисел є ірраціональними: раціональні числа зліченні, а ірраціональні — незліченні, тож випадкове дійсне число буде ірраціональним з імовірністю 1. Алгебраїчні ірраціональності задовольняють поліноміальні рівняння; трансцендентні числа — ні.