Кожне дійсне число має найкращі раціональні наближення: дроби p/q, які ближчі до x, ніж будь-який дріб із меншим знаменником. Знаменники q₁, q₂, q₃, … зростають, але з якою швидкістю? Поль Леві довів у 1935 році, що для майже кожного дійсного числа qₙ^(1/n) збігається до e^β ≈ 3.27582, де β = π²/(12 ln 2).
Для типового числа ln(qₙ)/n росте приблизно лінійно з нахилом β ≈ 1.1865. Знаменники підходящих дробів для π (1, 7, 106, 113, 33102…) інколи ростуть швидше через аномально великий частковий коефіцієнт 292.
Золотий переріз φ = [1;1,1,1,…] має знаменники Фібоначчі 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, які зростають зі швидкістю φ ≈ 1.618 за крок. Це набагато повільніше, ніж e^β ≈ 3.276, тому φ є «найірраціональнішим» числом: його наближення поліпшуються найповільніше. У більшості чисел знаменники зростають значно швидше — зі швидкістю e^β.
Порівняння росту знаменників для золотого перерізу та типового числа
| φ = [1;1,1,1,…] | Типове число |
|---|---|
| qₙ росте як φⁿ ≈ 1.618ⁿ | qₙ росте як (e^β)ⁿ ≈ 3.276ⁿ |
| Найповільніше можливе зростання | Теорема Леві |
Значення β = π²/(12 ln 2) виникає з інтегрування розподілу Гауса—Кузьміна. ln 2 походить від роботи в основі 2 (двійковій системі), а π² з’являється з тих самих джерел, що й у формулі ζ(2) = π²/6. Стала Леві: 1.1865691104156254… e^β = 3.275822918721811159787681882…
Частковий коефіцієнт 292 на кроці 5 змушує знаменники для π рости набагато швидше за середнє. Для «типового» числа відношення ln(qₙ)/n → β ≈ 1.187.
| n | Частковий коефіцієнт aₙ | Підходящий дріб pₙ/qₙ | Знаменник qₙ | ln(qₙ)/n |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 3/1 | 1 | 0.00 |
| 2 | 7 | 22/7 | 7 | 0.97 |
| 3 | 15 | 333/106 | 106 | 1.55 |
| 4 | 1 | 355/113 | 113 | 1.19 |
| 5 | 292 | 103993/33102 | 33102 | 2.52 |
| 6 | 1 | 104348/33215 | 33215 | 1.74 |
| 7 | 1 | 208341/66317 | 66317 | 1.54 |
Стала Леві β = π²/(12 ln 2) ≈ 1.18657. Для майже кожного дійсного числа знаменник qₙ n-го підходящого дробу задовольняє qₙ^(1/n) → e^β ≈ 3.27582. Це довів Поль Леві у 1935 році. Золотий переріз, у якого знаменники Фібоначчі зростають зі швидкістю φ ≈ 1.618, лежить значно нижче від середнього рівня, що підтверджує його як число, яке найважче наближати. Формула поєднує π та ln 2, зв’язуючи геометрію кола з логарифмами через розподіл Гауса—Кузьміна.