Підсумуйте обернені значення всіх простих чисел до n: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p. Ця сума зростає, але надзвичайно повільно: як ln(ln n). Стала Мейсселя—Мертенса M є точним розривом між цією сумою та її головним членом, так само як стала Ейлера—Маскероні вимірює відповідний розрив для гармонічного ряду.
Ейлер довів у 1737 році, що сума обернених простих чисел розбігається. Це значно важче, ніж довести нескінченність простих, і дає кількісне уявлення про те, наскільки густо розташовані прості числа. Теорема Мертенса далі стверджує, що Σ(p≤n) 1/p = ln(ln(n)) + M + O(1/log n), де M є точним сталим членом.
Порівняння сталої Ейлера—Маскероні та сталої Мейсселя—Мертенса
| Ейлера—Маскероні γ | Мейсселя—Мертенса M |
|---|---|
| Σ 1/n − ln(n) → 0.5772 | Σ 1/p − ln(ln n) → 0.2615 |
| Усі цілі числа | Лише прості числа |
M і γ пов’язані формулою M = γ + Σₚ(ln(1−1/p) + 1/p). Чи є хоча б одна з цих констант ірраціональною, невідомо. Обидві обчислено до мільярдів десяткових знаків і вважають трансцендентними, але для жодної з них немає доведення. M = 0.261497212847642783755426838608669…
Гармонічна сума (синя) росте швидко: 2.93, 5.19, 7.49, 9.79. Сума обернених простих, що росте як ln(ln(n))+M, у тих самих точках дорівнює лише 0.84, 1.18, 1.52, 1.85.
Стала Ейлера—Маскероні γ вимірює розрив між гармонічним рядом (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) та ln(n). Стала Мейсселя—Мертенса M відіграє таку саму роль для суми обернених простих (1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p) порівняно з ln(ln(n)). Обидві є «сталими корекції похибки» для розбіжних рядів, що зростають логарифмічно.
Стала Мейсселя—Мертенса M ≈ 0.26149 відіграє для обернених простих ту саму роль, що стала Ейлера—Маскероні відіграє для гармонічного ряду. Мертенс довів у 1874 році, що 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p = ln(ln(n)) + M + мала похибка. Чи є M ірраціональною, невідомо. Вона з’являється в теоремі Мертенса про добутки простих і в густині гладких чисел. M і γ пов’язані конкретною сумою за всіма простими числами.