Математика побудувала п’ять головних систем чисел, кожна з яких є розширенням попередньої. Кожне розширення було викликане рівнянням без розв’язку: «скільки буде 3−5?» змусило ввести цілі числа; «скільки буде 1/3?» — раціональні; «що таке √2?» — дійсні; «що таке √−1?» — комплексні.
Таблиця властивостей, які набуваються й втрачаються при розширенні систем чисел
| СИСТЕМА | ДОДАНО | ВТРАЧЕНО/ЗМІНЕНО |
|---|---|---|
| N (натуральні) | лічба, +, × | немає віднімання |
| Z (цілі) | віднімання, від’ємні | немає ділення |
| Q (раціональні) | ділення, дроби | немає √2 |
| R (дійсні) | усі границі, √2, π | немає √(-1) |
| C (комплексні) | усі корені многочленів | алгебраїчно замкнені |
| H (кватерніони) | обертання в 3D | ab не дорівнює ba |
| Кожне розширення — справжнє збільшення, а не просто перейменування |
Синім — натуральні числа ℕ. Зеленим додається 0. Фіолетовим — від’ємні цілі ℤ. Помаранчевим — дроби ℚ. Червоним — ірраціональні числа, що заповнюють решту ℝ.
У математиці є п’ять головних числових систем: натуральні числа N (лічба, без віднімання), цілі числа Z (додають віднімання і від’ємні числа), раціональні числа Q (додають ділення), дійсні числа R (додають границі та ірраціональні числа), комплексні числа C (додають √(−1)). Кожне розширення розв’язувало рівняння, нерозв’язне в попередній системі. Комплексні числа алгебраїчно замкнені: кожне поліноміальне рівняння має розв’язок у межах C. Вкладення є строгим: N всередині Z всередині Q всередині R всередині C, а зовнішнє кільце R заповнюють трансцендентні числа.