сума ВСІХ дільників (разом із n) дорівнює подвоєному числу
Досконале число дорівнює сумі всіх своїх власних дільників, тобто всіх дільників, крім нього самого. 6 = 1+2+3. 28 = 1+2+4+7+14. Такі числа надзвичайно рідкісні: відомо лише 51, усі парні, і вони ростуть астрономічно швидко. Чи існує хоч одне непарне досконале число, досі невідомо.
Перші чотири досконалі числа: портрети дільників
Теорема Евкліда—Ейлера: парні досконалі числа ↔ прості Мерсенна
n is even perfect ⟺ n = 2^(p−1) · (2^p − 1)
де 2^p − 1 — просте число Мерсенна
Евклід довів напрямок →, Ейлер — ←. Усі 51 відомі досконалі числа парні й походять із цієї формули. Чи існують непарні досконалі числа — невідомо.
Досконалі числа в логарифмічній шкалі: ростуть швидше за експоненту
Показано значення log10. Навіть у логарифмічній шкалі кожен стрибок набагато більший за попередній. 51-ше досконале число має понад 49 мільйонів цифр.
Досконале число дорівнює сумі своїх власних дільників: 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14. Евклід показав, що 2^(p−1)(2^p−1) є досконалим щоразу, коли 2^p−1 — просте число Мерсенна. Ейлер довів і обернене: кожне парне досконале число має саме цей вигляд. Чи існує бодай одне непарне досконале число, — одна з найдавніших нерозв’язаних проблем; жодного такого числа ніколи не знайдено. Відомо лише 51 досконале число, і всі вони парні, бо відповідають 51 відомому простому числу Мерсенна.