Позначимо через π(n) кількість простих чисел, не більших за n. Теорема про розподіл простих чисел стверджує, що π(n) зростає як n/ln(n). Коли n стає більшим, поблизу n простим є приблизно одне число з кожних ln(n). Біля мільйона простим є приблизно 1 із 14 чисел. Біля мільярда — 1 із 21.
π(n) рахує прості числа до n (синя сходинка). Теорема про розподіл простих чисел каже, що π(n) ~ n/ln(n) — тобто їхнє відношення → 1 при n → ∞. Логарифмічний інтеграл Li(n) ще точніший.
Гаус висловив це припущення близько 1800 року після вивчення таблиць простих чисел. У 1896 році його незалежно довели Жак Адамар і Шарль-Жан де ла Валле-Пуссен, обидва використовуючи дзета-функцію Рімана та комплексний аналіз. Чисто елементарне доведення, без комплексного аналізу, незалежно знайшли Сельберг і Ердеш у 1948 році.
Таблиця густини простих чисел на різних масштабах
| До n | Прості числа π(n) | Густина ≈ 1/ln(n) |
|---|---|---|
| 1 000 | 168 | 1 із 7 |
| 1 000 000 | 78 498 | 1 із 14 |
| 10⁹ | 50 847 534 | 1 із 21 |
| 10¹² | 37 607 912 018 | 1 із 28 |
Гіпотеза Рімана дала б найточнішу межу для похибки: |π(n) - Li(n)| ≤ √n · ln(n) / (8π). Без неї ми знаємо лише, що похибка є o(n/ln(n)). Саме тому гіпотеза Рімана вважається найважливішою відкритою проблемою математики: вона точно сказала б, наскільки передбачуваними є проміжки між простими числами.
Точнішим наближенням до π(n), ніж n/ln(n), є логарифмічний інтеграл Li(n) = інтеграл від 2 до n від dt/ln(t). Гаус віддавав перевагу саме цій формі. Для n = 1,000,000: n/ln(n) дає 72,382, тоді як Li(n) дає 78,628, а точне значення дорівнює 78,498. Похибка Li(n) значно менша. Гіпотеза Рімана дала б для цієї похибки точну межу порядку √n · ln(n).