У будь-якому прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи (сторони навпроти прямого кута) дорівнює сумі квадратів двох інших сторін. Якщо катети мають довжини a і b, а гіпотенуза — c, то a² + b² = c². Трикутник 3-4-5 задовольняє рівність 9 + 16 = 25.
a² + b² = c². Для трикутника 3-4-5: 9 + 16 = 25. Площа синього і червоного квадратів разом дорівнює площі зеленого квадрата.
Вавилонські глиняні таблички з 1900 року до н. е. перелічують піфагорові трійки (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), що показує: результат був емпірично відомий задовго до Піфагора. Його школа (близько 570 року до н. е.) дала перше доведення. Сьогодні відомо понад 370 різних доведень, зокрема алгебраїчні, геометричні, тригонометричні та навіть одне, опубліковане президентом США Джеймсом Гарфілдом у 1876 році.
Таблиця піфагорових трійок
| a | b | c | a²+b²=c² |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9+16=25 ✓ |
| 5 | 12 | 13 | 25+144=169 ✓ |
| 8 | 15 | 17 | 64+225=289 ✓ |
| 7 | 24 | 25 | 49+576=625 ✓ |
У n вимірах відстань від початку координат до точки (x₁, x₂, …, xₙ) дорівнює √(x₁² + x₂² + ⋯ + xₙ²). Велика теорема Ферма (доведена Ендрю Вайлзом у 1995 році після 358 років) показує, що не існує цілих розв’язків рівняння aⁿ + bⁿ = cⁿ для n, більшого за 2. Теорема Піфагора — це випадок n=2, у якому цілих розв’язків нескінченно багато.
Обидва великі квадрати мають розмір (a+b)×(a+b). В обох є чотири однакові прямокутні трикутники. Те, що лишається в лівому квадраті, — це c². Те, що лишається в правому квадраті, — це a²+b². Отже, вони мають бути рівні.
У будь-якому прямокутному трикутнику: a^2 + b^2 = c^2. Емпірично теорема була відома вавилонянам уже до 1800 року до н. е.; вперше її довели піфагорійці близько 570 року до н. е. Існує понад 370 різних доведень, зокрема одне, опубліковане президентом США Джеймсом Гарфілдом у 1876 році. Цілі розв’язки — це піфагорові трійки: усі трійки породжуються формулою (m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2). Велика теорема Ферма (доведена Вайлзом, 1995) показує, що для степенів, більших за 2, аналогічних цілих розв’язків немає. Теорема узагальнюється на n вимірів як формула евклідової відстані.