Дзета-функція Рімана — це ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + ⋯. Ейлер вивчав її дійсну версію та знайшов ζ(2) = π²/6 (Базельська проблема), а також добуткову формулу ζ(s) = ∏ 1/(1-p⁻ˢ) за простими p. У 1859 році Ріман продовжив функцію на комплексні числа і пов’язав її нулі з розподілом простих чисел, започаткувавши сучасну аналітичну теорію чисел.
Таблиця значень дзета-функції на парних цілих
| s | ζ(s) | точна форма |
|---|---|---|
| 2 | 1.64493… | π²/6 |
| 3 | 1.20206… | невідомо (Апері) |
| 4 | 1.08232… | π⁴/90 |
| 6 | 1.01734… | π⁶/945 |
| -2,-4,… | 0 | тривіальні нулі |
Ключове прозріння Рімана полягало в тому, що продовження ζ(s) на комплексні s означає: нетривіальні нулі (де ζ(s) = 0 і 0 < Re(s) < 1) керують розподілом простих чисел. Кожний нуль вносить осциляцію у функцію підрахунку простих. У 1859 році Ріман висловив припущення, що всі нетривіальні нулі лежать на прямій Re(s) = 1/2. Це і є гіпотеза Рімана.
Понад 10 трильйонів нетривіальних нулів перевірено, і всі вони лежать на Re(s) = 1/2. Жодного контрприкладу ніколи не знайдено. Інститут математики Клея пропонує 1 мільйон доларів за доведення (або спростування). Доведення дало б найточнішу можливу оцінку похибок у розподілі простих чисел. Гіпотеза Рімана залишається недоведеною вже 165 років.
Дзета-функція Рімана задовольняє симетрію: ζ(s) = 2^s · π^(s−1) · sin(πs/2) · Γ(1−s) · ζ(1−s). Це продовжує дзета-функцію на всі комплексні числа s (крім s = 1) і пов’язує значення в точці s зі значенням у точці 1−s. Воно показує, що нетривіальні нулі з’являються парами: якщо s є нулем, то й 1−s також. Тривіальні нулі при s = −2, −4, −6, ... виникають із множника sin(πs/2).
Дзета-функція Рімана має вигляд ζ(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + ... Ейлер обчислив її значення на парних цілих: ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90. Ріман продовжив її на комплексні значення s у 1859 році й висловив припущення, що всі нетривіальні нулі лежать на прямій Re(s) = 1/2. Гіпотеза Рімана залишається недоведеною вже понад 165 років і є однією із задач тисячоліття Інституту Клея з премією 1 мільйон доларів. На критичній прямій уже перевірено понад 10 трильйонів нулів. Нулі керують розподілом простих чисел: кожний нуль вносить осциляцію у функцію підрахунку простих.