√2 — це довжина діагоналі одиничного квадрата. Покладіть на стіл квадрат зі сторонами довжини 1. Відстань від одного кута до протилежного дорівнює точно √2. Це теорема Піфагора: 1² + 1² = (√2)².
Піфагорійці відкрили близько 500 року до н.е., що √2 не можна подати дробом p/q, де p і q — цілі числа. Доведення від супротивного елегантне: припустімо, що √2 = p/q у найменших членах. Тоді 2q² = p², отже p² парне, а значить p парне, тож p = 2k. Тоді 2q² = 4k², отже q² = 2k², а значить q теж парне. Це суперечить тому, що p/q було в найменших членах. Отже √2 ірраціональне.
Збіжні з неперервного дробу [1; 2, 2, 2, …]. Кожен дріб є найкращим раціональним наближенням для свого знаменника.
Збіжні квадратного кореня з 2 з неперервного дробу
| дріб | десяткове | похибка |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
√2 є алгебраїчним (воно задовольняє x² = 2), але ірраціональним. У тригонометрії: sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. Формат паперу серії A (A4, A3, A2…) використовує відношення 1:√2, тож при складанні аркуша навпіл пропорції зберігаються. Обчислене з повною точністю: 1.41421356237309504880168872…
Кожний прямокутний трикутник має один катет, рівний попередній гіпотенузі, і один катет, рівний 1. Гіпотенузи дорівнюють √1, √2, √3, √4, √5… Більшість із них ірраціональні. √2 (червоне) було першим числом, ірраціональність якого довели піфагорійці близько 500 року до н.е.
Квадратний корінь із 2 приблизно дорівнює 1.41421356237309504880. Це перше число, для якого взагалі було доведено ірраціональність: це зробили давні греки близько 500 року до н.е. Воно алгебраїчне, бо задовольняє рівняння x² = 2. Воно з’являється як довжина діагоналі одиничного квадрата, у рівномірно темперованому музичному строї (кожен півтон множить частоту на дванадцятий корінь із 2), у пропорціях паперу серії A (A4, складений навпіл, дає A5 з тими самими пропорціями) і в теоремі Піфагора, коли катети рівні.
Квадратний корінь із 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the неперервний дріб.