Наближення Стірлінга стверджує, що для великих n маємо n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. Поява і π, і e у формулі про підрахунок перестановок вражає. Для n = 10 похибка менша за 1%. Для n = 100 вона менша за 0.1%. Формула стає дедалі точнішою без обмежень зі зростанням n.
Відносна похибка |n! − наближення Стірлінга| / n! падає нижче 1% при n = 8 і нижче 0.1% при n = 80. Для великих n формула Стірлінга практично точна.
Абрагам де Муавр у 1730 році виявив, що n! ≈ C·√n·(n/e)ⁿ для деякої сталої C. Того ж року Джеймс Стірлінг визначив, що C = √(2π). Множник √(2π) виникає з гаусового інтеграла: коли наближення Стірлінга виводять через гамма-функцію, у формулі з’являється інтеграл ∫e^(-t²)dt = √π, який і приносить π.
Логарифмічна форма використовується всюди у фізиці: у статистичній механіці формула ентропії Больцмана S = k·ln(W) потребує ln(N!) для величезних N (молів частинок). Наближення Стірлінга дає ln(N!) ≈ N·ln(N) - N, роблячи обчислення керованими. Повний асимптотичний ряд додає поправки: n! = √(2πn)(n/e)ⁿ · exp(1/(12n) - 1/(360n³) + ⋯)
У логарифмічному масштабі n! і наближення Стірлінга візуально не відрізняються. Відносна похибка прямує до 0 зі зростанням n.