Ряд Тейлора подає будь-яку гладку функцію як нескінченний многочлен. Кожний коефіцієнт задається похідною: n-й член дорівнює f⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x−a)ⁿ. Для добре поводжених функцій, таких як eˣ, sin(x) і cos(x), цей ряд збігається до точного значення функції всюди.
Кожний доданий член розширює область точного наближення. Додаючи більше членів, отримуємо sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + …
Три найважливіші ряди Маклорена: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ (збігається всюди); sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − ⋯ (збігається всюди); cos(x) = 1 − x²/2! + x⁴/4! − ⋯ (збігається всюди). Підстановка x = iπ у ряд для eˣ приводить до тотожності Ейлера.
Таблиця рядів Маклорена
| f(x) | Ряд | Радіус |
|---|---|---|
| eˣ | 1+x+x²/2!+x³/3!+⋯ | ∞ |
| sin x | x-x³/3!+x⁵/5!-⋯ | ∞ |
| cos x | 1-x²/2!+x⁴/4!-⋯ | ∞ |
| ln(1+x) | x-x²/2+x³/3-⋯ | |x|≤1 |
| 1/(1-x) | 1+x+x²+x³+⋯ | |x|<1 |
Брук Тейлор сформулював загальну теорему у 1715 році; окремий випадок із центром у 0 популяризував Колін Маклорен у 1742 році. Кожен калькулятор і комп’ютер використовує ряди Тейлора для обчислення трансцендентних функцій. Похибка після n членів обмежується остачею Лагранжа: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| · |x−a|ⁿ⁺¹ / (n+1)!
cos(x) ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Кожна пара членів додає ще один порядок точності.
Ряд Тейлора подає гладку функцію як нескінченний многочлен: f(x) = f(a) + f′(a)(x−a) + f″(a)(x−a)²/2! + … Коефіцієнти — це похідні в центральній точці a. Ряди Маклорена центровані в 0. Три ключові ряди збігаються всюди: e^x = 1 + x + x²/2! + …, sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos(x) = 1 − x²/2! + x⁴/4! − … Підстановка x = iπ у ряд для e^x доводить тотожність Ейлера. Кожен калькулятор внутрішньо використовує ряди Тейлора для обчислення трансцендентних функцій.