Число є трансцендентним, якщо воно не є коренем жодного поліноміального рівняння з цілими коефіцієнтами. π не задовольняє рівняння на кшталт x^2 - 3x + 1 = 0. e також не задовольняє жодного такого рівняння. Вони лежать поза межами досяжності алгебри. Хоча називати конкретні трансцендентні числа вдається рідко, трансцендентні числа є правилом, а не винятком: майже кожне дійсне число є трансцендентним.
Кожне раціональне число є алгебраїчним. Кожне алгебраїчне число є дійсним або комплексним. Але трансцендентні числа, тобто числа за межами алгебраїчного кільця, незрівнянно численніші за всі алгебраїчні разом.
Від штучної побудови Ліувілля (1844) до теореми Гельфонда—Шнайдера (1934) теорія трансцендентності виросла з курйозу в важливу галузь теорії чисел.
Таблиця алгебраїчних чисел із їхніми мінімальними многочленами та трансцендентних чисел, для яких такого многочлена не існує
| ЧИСЛО | МІНІМАЛЬНИЙ МНОГОЧЛЕН |
|---|---|
| √2 = 1.41421... | x^2 - 2 = 0 |
| φ = 1.61803... | x^2 - x - 1 = 0 |
| ∛5 = 1.70997... | x^3 - 5 = 0 |
| i = √(-1) | x^2 + 1 = 0 |
| π = 3.14159... | жодного многочлена не існує |
| e = 2.71828... | жодного многочлена не існує |
| e^π = 23.1406... | жодного многочлена не існує |
Число є трансцендентним, якщо воно не задовольняє жодного поліноміального рівняння з цілими коефіцієнтами. Ліувілль навів перший явний приклад у 1844 році. Ерміт довів трансцендентність e у 1873 році. Ліндеман довів трансцендентність π у 1882-му, остаточно показавши неможливість античної задачі квадратури круга. Теорема Гельфонда—Шнайдера (1934) показує, що a^b є трансцендентним, коли a — алгебраїчне число, відмінне від 0 і 1, а b — алгебраїчне та ірраціональне. Хоча трансцендентні числа — це правило, а не виняток, довести трансцендентність будь-якого конкретного числа залишається надзвичайно складно.