Το ln 2 είναι ο φυσικός λογάριθμος του 2: η δύναμη στην οποία πρέπει να υψωθεί το e για να δώσει 2. Γεωμετρικά, ισούται με το εμβαδό κάτω από την καμπύλη y = 1/x από το x = 1 έως το x = 2. Αριθμητικά, το 2.71828… υψωμένο στη δύναμη 0.69314… δίνει ακριβώς 2.
∫₁² 1/x dx = ln(2) − ln(1) = ln 2 ≈ 0.6931. Αυτός είναι ο ορισμός του φυσικού λογαρίθμου: το ln(a) είναι το εμβαδό κάτω από το 1/x από το 1 έως το a.
Το ln 2 είναι η σταθερά της ημιζωής. Κάθε ποσότητα που υποδιπλασιάζεται με σταθερό ρυθμό ικανοποιεί τη σχέση N(t) = N₀ · e^(-λt). Η ημιζωή είναι t₁/₂ = ln(2)/λ ≈ 0.693/λ. Αυτό ισχύει για τη ραδιενεργό διάσπαση, την απομάκρυνση φαρμάκων από την κυκλοφορία του αίματος, την εκφόρτιση πυκνωτή και την ψύξη του καφέ.
1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ... συγκλίνει στο ln 2 ≈ 0.6931, ταλαντευόμενο γύρω από το όριο. Η σύγκλιση είναι αργή: κάθε δεύτερος όρος υπερβαίνει το όριο.
Το ln 2 είναι υπερβατικό (Λίντεμαν-Βάιερστρας, 1885). Στη θεωρία πληροφορίας μετατρέπει τα νατ σε μπιτ: 1 μπιτ = ln(2) νατ ≈ 0.693 νατ. Η σειρά 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ⋯ συγκλίνει ακριβώς στο ln 2. Υπολογισμένο: 0.69314718055994530941723212145817…
N(t) = N₀ · 2^(−t/t½) = N₀ · e^(−t·ln2/t½). Το ln 2 ≈ 0.693 είναι η σταθερά της διάσπασης. Μετά από 1 ημιζωή: απομένει 50%. Μετά από 10: 0.1%.
Ο φυσικός λογάριθμος του 2 είναι περίπου 0.69314718055994530941. Είναι άρρητος και υπερβατικός. Το ln 2 ισούται με το εμβαδό κάτω από την υπερβολή y = 1/x από το x = 1 έως το x = 2. Διέπει κάθε διπλασιασμό και κάθε υποδιπλασιασμό: μια ποσότητα που αυξάνεται με ρυθμό r διπλασιάζεται σε χρόνο ln(2)/r. Στη θεωρία πληροφορίας, 1 μπιτ πληροφορίας ισούται με ln 2 νατ. Στην πληροφορική, ο αριθμός δυαδικών ψηφίων που χρειάζονται για να αναπαρασταθούν n τιμές είναι log₂(n) = ln(n)/ln(2).
Φυσικός Λογάριθμος του 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the εναλλασσόμενη αρμονική σειρά.