গণনাযোগ্য অনন্ততা, অগণনযোগ্য অনন্ততার চেয়ে সত্যিই ছোট
অনন্ত একক কোনো ধারণা নয়। 1874 সালে Georg Cantor দেখিয়েছিলেন যে কিছু অনন্ততা অন্যগুলোর তুলনায় সত্যিই বড়। পূর্ণসংখ্যা, ভগ্নাংশ এবং জোড় সংখ্যার সমষ্টি–সবই সমসংখ্যক অনন্ত। কিন্তু বাস্তব সংখ্যাগুলো একটি কঠোরভাবে বড় অনন্ততা গঠন করে, এবং কোনো তালিকাই কখনো তাদের সবগুলোকে ধারণ করতে পারে না।
Cantor-এর diagonal argument: কেন বাস্তব সংখ্যাগুলোকে তালিকাভুক্ত করা যায় না
অনন্ততার আকার: একটি কঠোর hierarchy
Natural numbers, integers এবং rationals–সবই countably infinite: এক-এক সমাপতনে আনা যায়। Real numbers uncountably infinite: কঠোরভাবে বড় একটি অনন্ততা। এই দুইয়ের মাঝখানে কিছু আছে কি না, সেটিই Continuum Hypothesis-এর প্রশ্ন।
Hilbert-এর হোটেল: অসীম ঘর, সব পূর্ণ–তবু জায়গা আছে
Cantor 1874 সালে প্রমাণ করেন যে সব অনন্ততা সমান নয়। স্বাভাবিক সংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা ও rational সংখ্যা গণনাযোগ্য অনন্ত: এগুলোকে তালিকাভুক্ত করা যায়। বাস্তব সংখ্যা অগণনযোগ্য অনন্ত: diagonal argument দিয়ে প্রমাণ করা যায় যে তাদের সম্পূর্ণ তালিকা নেই। Cantor-এর theorem অনুযায়ী, কোনো সেটের power set-এর cardinality সেই সেটের চেয়ে সবসময় বড়–এভাবে এক অন্তহীন hierarchy তৈরি হয়। Continuum hypothesis, অর্থাৎ পূর্ণসংখ্যা ও বাস্তব সংখ্যার অনন্ততার মাঝখানে আর কিছু নেই–এটি standard set theory থেকে স্বাধীন বলে প্রমাণিত হয়েছে।
ব্যবহৃত হয়
∑গণিত
✓
⚛পদার্থবিজ্ঞান
✓
⚙প্রকৌশল
–
🧬জীববিজ্ঞান
–
💻কম্পিউটার বিজ্ঞান
✓
📊পরিসংখ্যান
–
📈অর্থনীতি
–
🎨শিল্পকলা
–
🏛স্থাপত্য
–
♪সংগীত
–
🔐ক্রিপ্টোগ্রাফি
–
🌌জ্যোতির্বিজ্ঞান
–
⚗রসায়ন
–
🦉দর্শন
✓
🗺ভূগোল
–
🌿বাস্তুবিদ্যা
–
Want to test your knowledge?
Question
Cantor কীভাবে প্রমাণ করেছিলেন বাস্তব সংখ্যা অগণনীয়?